Giải bài toán:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB = IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI = 1/2 AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.

Giải:

1. Phân tích bài toán:

Bài toán yêu cầu so sánh diện tích hai tam giác AMN và BMN.
Để giải bài toán, ta cần chứng minh diện tích tam giác AMN bằng hoặc hơn diện tích tam giác BMN.
Ta có thể sử dụng các tính chất về đường trung tuyến, đường trung bình,... để chứng minh điều này.
2. Giải:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh tam giác AMN và BMN có chung đường cao hạ từ M.

Kéo dài AM cắt BC tại E.
Xét tam giác AME và tam giác CME:ME chung.
AME =CME (góc đối đỉnh).
MAE =MCE (hai góc so le trong vì AE // CM).
Vậy ΔAME ~ ΔCME (g.g).
⇒ CMAM​=CEAE​ (tỉ lệ đồng dạng).
Ta có: MI = AM/2 (đề bài).
⇒ MI = CE/2.
Do đó, I là trung điểm của CE.
Vậy, đường cao hạ từ M xuống AB cũng là đường cao hạ từ M xuống BC.
b) Chứng minh tam giác AMN và BMN có chung đáy.

Kéo dài AM cắt BC tại E như trên.
Ta có: AB = AE + EB.
Do I là trung điểm của CE nên EB = CI.
⇒ AB = AE + CI.
Ta lại có: MI = AM/2 (đề bài).
⇒ MI = CI/2.
Do đó, M là trung điểm của AI.
Vậy, tam giác AMN và tam giác BMN có chung đáy MN.
c) Kết luận:

Tam giác AMN và tam giác BMN có chung đường cao và chung đáy.
Vậy, diện tích tam giác AMN bằng diện tích tam giác BMN.