Để chứng minh \( S = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^6} + \ldots + \frac{1}{3^{98}} < \frac{1}{8} \), ta sẽ làm theo các bước dưới đây:

### Bước 1: Xác định chuỗi
Số hạng đầu tiên của chuỗi \( S \) là \( \frac{1}{3^2} \) và số hạng cuối cùng là \( \frac{1}{3^{98}} \).

### Bước 2: Tìm số lượng số hạng
Các số hạng trong chuỗi này có dạng:
\[
\frac{1}{3^{2n}} \quad \text{ với } n = 1, 2, 3, \ldots, 49.
\]
Số lượng số hạng là 49 (từ \( n=1 \) đến \( n=49 \)).

### Bước 3: Tính tổng của chuỗi
Chuỗi \( S \) là một chuỗi cấp số nhân với:
- Số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
- Tỉ số chung \( r = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)

Theo công thức tổng của chuỗi cấp số nhân:
\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
trong đó \( n = 49 \).

Áp dụng vào chuỗi của chúng ta:
\[
S = \frac{1/9(1 - (1/9)^{49})}{1 - 1/9}
\]

### Bước 4: Tính mẫu số
Mẫu số là:
\[
1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]

### Bước 5: Tính tổng \( S \)
Thay mẫu số vào công thức tính tổng:
\[
S = \frac{1/9(1 - (1/9)^{49})}{\frac{8}{9}} = \frac{1 - (1/9)^{49}}{8}
\]

### Bước 6: So sánh với \( \frac{1}{8} \)
Bây giờ ta cần chứng minh:
\[
\frac{1 - (1/9)^{49}}{8} < \frac{1}{8}
\]

Ta có thể nhân cả hai vế với 8 (vì 8 > 0):
\[
1 - (1/9)^{49} < 1
\]

### Bước 7: Xác minh
Nhận thấy rằng \( (1/9)^{49} > 0 \), do đó:
\[
1 - (1/9)^{49} < 1
\]

Bất đẳng thức trên là đúng. Vậy:
\[
S < \frac{1}{8}
\]

### Kết luận
Do đó, ta đã chứng minh được rằng:
\[
S = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^6} + \ldots + \frac{1}{3^{98}} < \frac{1}{8}
\]