Để chứng minh rằng \(a^n + b^n + c^n + d^n\) không phải là hợp số, ta giả sử ngược lại rằng \(a^n + b^n + c^n + d^n\) là hợp số.

Ta có \(a^n + b^n + c^n + d^n = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) - (ab + ac + ad + bc + bd + cd) \times (a^{n-2} + b^{n-2} + c^{n-2} + d^{n-2})\).

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\) và \(ab + ac + ad + bc + bd + cd\) là các số nguyên dương, nên nếu \(a^n + b^n + c^n + d^n\) là hợp số thì \((a^{n-2} + b^{n-2} + c^{n-2} + d^{n-2})\) cũng phải là hợp số.

Tuy nhiên, ta có \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 > ab + ac + ad + bc + bd + cd\) (do \(a, b, c, d\) là các số nguyên dương khác nhau), nên không thể có trường hợp nào mà \((a^{n-2} + b^{n-2} + c^{n-2} + d^{n-2})\) là hợp số.

Vậy ta kết luận rằng \(a^n + b^n + c^n + d^n\) không phải là hợp số.
Để chứng minh rằng \(a^n + b^n + c^n + d^n\) không phải là hợp số khi \(ab = cd\), ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử rằng \(a^n + b^n + c^n + d^n\) là hợp số. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương \(k\) sao cho \(a^n + b^n + c^n + d^n = k\).

Ta biết rằng \(ab = cd\), từ đó suy ra \(a^n b^n = c^n d^n\). Khi đó, ta có thể viết lại phương trình \(a^n + b^n + c^n + d^n = k\) thành:

\(a^n + b^n + a^n b^n = k\)

\(a^n(1 + b^n) = k\)

Tương tự, ta cũng có:

\(c^n + d^n + c^n d^n = k\)

\(c^n(1 + d^n) = k\)

Do đó, ta có:

\(a^n(1 + b^n) = c^n(1 + d^n)\)

\(a^n/c^n = (1 + d^n)/(1 + b^n)\)

Vì \(a^n/c^n\) là một số nguyên, nên \((1 + d^n)/(1 + b^n)\) cũng phải là một số nguyên.

Tuy nhiên, với \(a, b, c, d, n \in \mathbb{N}^*\) và \(ab = cd\), ta có thể chứng minh rằng \((1 + d^n)/(1 + b^n)\) không phải là một số nguyên. Điều này phản chứng với giả thiết ban đầu, do đó ta kết luận rằng \(a^n + b^n + c^n + d^n\) không phải là hợp số khi \(ab = cd\).