## Giải bài toán nửa đường tròn

**1) Chứng minh tứ giác AIKM nội tiếp:**

**Ta có:**

* ˆAIM=90°���^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

* ˆAMK=90°���^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

**Suy ra:** ˆAIM+ˆAMK=180°���^+���^=180°

**Tứ giác AIKM có hai góc đối bù nhau nên nội tiếp được trong một đường tròn.**

**2) Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với tam giác MOB:**

**Ta có:**

* ˆAKC=ˆMOB���^=���^ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

* ˆC=ˆM�^=�^ (góc chung)

**Do đó, △AKC∼△MOB△���∼△��� (g.g).**

**3) Chứng minh 2 OM. CK = AM. BK:**

**Ta có:**

* △AKC∼△MOB△���∼△��� (chứng minh trên)

**Suy ra:** ACMO=BKAM����=����

**Hay:** AM.BK=AC.MO��.��=��.��

**Lại có:** AC=2R−CK��=2�−�� (do C là điểm đối xứng của A qua I)

**Do đó:** AM.BK=(2R−CK).MO=2OM.CK−CK.MO=2OM.CK��.��=(2�−��).��=2��.��−��.��=2��.��

**Vậy, 2 OM. CK = AM. BK.**

a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: ˆMAO=ˆMCO=900⇒MAO^=MCO^=900⇒ AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.

ˆADB=900ADB^=900 góc nội tiếp chắn nửa đường  tròn) ⇒ˆADM=900⇒ADM^=900 (1)

Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC

⇒ˆAEM=900⇒AEM^=900 (2). 

Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.

b)  Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ˆADE=ˆAME=ˆAMOADE^=AME^=AMO^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3)

Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: ˆAMO=ˆACOAMO^=ACO^(góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4).

Từ (3) và (4) suy ra ˆADE=ˆACOADE^=ACO^

c) Tia BC cắt Ax tại N. Ta có ˆACB=900ACB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ˆACN=900⇒ACN^=900, suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5).

Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì ICMN=IHMA(=BIBM)ICMN=IHMA(=BIBM)