Ta cần chứng minh rằng:

\[\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a+bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b+ca}} \leq \frac{3}{2}\]

Để giải quyết bài toán này, ta sử dụng Ung dụng Bù Trừ Cauchy-Schwarz (hay còn gọi là Ung dụng Bù Trừ AM-GM):

\[LHS = \sum_{cyc} \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\]

Nhận thấy rằng:

\[\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} = \frac{1}{\sqrt{c+ab}} \times \sqrt{ab} \leq \frac{1}{2} \left(\frac{1}{c} + \frac{1}{ab}\right)\]

Sử dụng điều kiện \(a+b+c=1\), ta có:

\[\frac{1}{c} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b}{ab} + \frac{1}{ab} = \frac{a+b+1}{ab} = \frac{2}{ab} \leq \frac{2}{4 \sqrt{ab}} = \frac{1}{2\sqrt{ab}}\]

Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta có:

\[LHS = \sum_{cyc} \sqrt{\frac{ab}{c+ab}} \leq \frac{1}{2} \left(\frac{1}{c} + \frac{1}{ab}\right) \leq \frac{1}{2\sqrt{ab}}\]

Điều này có nghĩa là:

\[LHS \leq \frac{1}{2\sqrt{ab}} + \frac{1}{2\sqrt{bc}} + \frac{1}{2\sqrt{ca}} = \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}}{2\sqrt{abc}}\]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[\frac{\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}}{3} \geq \sqrt[3]{\sqrt{ab} \times \sqrt{bc} \times \sqrt{ca}} = \sqrt[3]{abc}\]

\[ \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \geq 3\sqrt[3]{abc}\]

Chia cả hai vế cho \(2\sqrt{abc}\):

\[\frac{\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}}{2\sqrt{abc}} \geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2\sqrt{abc}} = \frac{3}{2}\]

Vậy, ta đã chứng minh được:

\[\sqrt{\frac{ab}{c+ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a+bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b+ca}} \leq \frac{3}{2}\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).