Với tam giác vuông \(ABC\) có chu vi là 37 dm và các tỉ lệ cạnh \(AB\) và \(BC\) so với \(AC\):

\(AB = \frac{2}{3} \times AC\)

\(BC = \frac{5}{3} \times AC\)

Đặt \(AC = x\) (đơn vị đo lường đều là dm), ta có:

\(AB = \frac{2}{3} \times x\)

\(BC = \frac{5}{3} \times x\)

Vì \(AB + BC + AC = 37\) (chu vi), ta có:

\(\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}x + x = 37\)

Tổng của các cạnh bằng chu vi:

\(\frac{2x + 5x + 3x}{3} = 37\)

\(10x = 111\)

\(x = \frac{111}{10} = 11.1\) dm

Sau khi có \(AC = 11.1\) dm, ta tính được các cạnh còn lại:

\(AB = \frac{2}{3} \times 11.1 = 7.4\) dm

\(BC = \frac{5}{3} \times 11.1 = 18.5\) dm

Bây giờ, để tính diện tích của tam giác, ta sử dụng công thức diện tích tam giác vuông:

Diện tích \(S = \frac{1}{2} \times AB \times BC\)

\(S = \frac{1}{2} \times 7.4 \times 18.5 = 68.45\) \(dm^2\)

Vậy diện tích của tam giác \(ABC\) là \(68.45\) \(dm^2\).