Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \(x\) cm và chiều rộng là \(y\) cm. Theo điều kiện đã cho:

- Chu vi hình chữ nhật là \(2(x + y) = 32\) (với chu vi là tổng hai cạnh chiều dài và chiều rộng).
- Khi giảm chiều dài đi 2 cm và tăng chiều rộng lên 2 cm, ta có:

\[\begin{cases} (x - 2) \cdot (y + 2) = xy + 8 \\ 2(x - 2 + y + 2) = 2(x + y) = 32 \end{cases}\]

Giải hệ phương trình trên để tìm \(x\) và \(y\).

Bước 1: Giải phương trình \(2(x + y) = 32\) để tìm giá trị của \(x + y\):

\[x + y = 16\]

Bước 2: Tìm giá trị của \(xy + 8\) bằng cách thay \(x + y = 16\) vào phương trình \(xy + 8\):

\[(x - 2) \cdot (y + 2) = xy + 8\]
\[(16 - y) \cdot (y + 2) = xy + 8\]
\[16y - y^2 + 32 - 2y = xy + 8\]
\[xy + 8 = 18y - y^2\]

Bước 3: Dùng giá trị \(x + y = 16\) để tìm giá trị của \(xy\) thông qua \(x + y\) và \(xy + 8\):

\[xy + 8 = 18y - y^2\]
\[xy = 18y - y^2 - 8\]
\[xy = y(18 - y) - 8\]
\[xy = 18y - y^2 - 8\]

Bước 4: Sử dụng \(x + y = 16\) để giải quyết vấn đề:

\[xy = 18y - y^2 - 8\]
\[x = 18 - y - \frac{8}{y}\]

Bước 5: Tìm giá trị cụ thể của \(y\) để tính \(x\):

Đặt \(z = 18 - y - \frac{8}{y}\). Ta có:

\[x = z = 18 - y - \frac{8}{y}\]

Bước 6: Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu bằng \(S = xy\), với \(x\) và \(y\) là các giá trị đã tìm:

\[S = xy = zy = z(18 - z - \frac{8}{z})\]

Sau khi tính toán, ta sẽ thu được giá trị diện tích của hình chữ nhật ban đầu.