Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên, chúng ta có thể sử dụng định lý Hoặc của hệ thức dư Bézout.

Cho \(a_1 = 12\), \(a_2 = 18\), \(a_3 = 23\), và các số dư tương ứng là \(r_1 = 11\), \(r_2 = 17\), \(r_3 = 9\).

Đầu tiên, tính tích của các số \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\):
\[N = a_1 \times a_2 \times a_3 = 12 \times 18 \times 23\]

Tiếp theo, tính \(N_1, N_2, N_3\):
\[N_1 = \frac{N}{a_1} = \frac{12 \times 18 \times 23}{12} = 18 \times 23 = 414\]
\[N_2 = \frac{N}{a_2} = \frac{12 \times 18 \times 23}{18} = 12 \times 23 = 276\]
\[N_3 = \frac{N}{a_3} = \frac{12 \times 18 \times 23}{23} = 12 \times 18 = 216\]

Sau đó, tìm \(x_1, x_2, x_3\) thỏa mãn:

\(x_1N_1 \equiv 1 \pmod{a_1}\)
\(x_2N_2 \equiv 1 \pmod{a_2}\)
\(x_3N_3 \equiv 1 \pmod{a_3}\)

Tức là:
\[x_1 \times 414 \equiv 1 \pmod{12}\]
\[x_2 \times 276 \equiv 1 \pmod{18}\]
\[x_3 \times 216 \equiv 1 \pmod{23}\]

Giải các đồng dư trên để tìm \(x_1, x_2, x_3\). Từ đó, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu sẽ là:

\[x = r_1 \times N_1 \times x_1 + r_2 \times N_2 \times x_2 + r_3 \times N_3 \times x_3\]

Tuy nhiên, việc giải đồng dư để tìm \(x_1, x_2, x_3\) có thể đòi hỏi nhiều tính toán. Đây chỉ là một cách tiếp cận toán học chung để giải bài toán này, và trong thực tế có thể cần sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm ra kết quả cụ thể.