Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tổng các số số hạng của M là

(2n -1 -1) :2 +1 = (2n -2) :2 +1 = n -1 +1 = n số số hạng

Tổng của M là

Hỏi đáp VietJack

Answer 2

Để chứng minh tổng \(M = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)\) là một số chính phương, chúng ta có thể sử dụng phương pháp toán học bằng biến đổi công thức hoặc chứng minh bằng quy nạp.

* Phương pháp biến đổi công thức:

Ta có tổng của dãy số lẻ \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)\) là \(n^2\). Điều này có thể được chứng minh bằng phép biến đổi sau:

Gọi \(S = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)\).

Ta có thể viết dãy số nguyên tố này theo cả hai chiều:

\[
\begin{align*}
S &= 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) \\
S &= (2n - 1) + (2n - 3) + (2n - 5) + \dots + 1
\end{align*}
\]

Thêm cả hai công thức lại với nhau:

\[
2S = 2n + 2n + 2n + \dots + 2n = n(2n) = 2n^2
\]

Từ đó, \(S = n^2\), tức là tổng của dãy số lẻ từ 1 đến \(2n - 1\) là bình phương của \(n\).

* Chứng minh bằng quy nạp:

Ta có công thức tổng của dãy số lẻ từ 1 đến \(2n - 1\) là \(n^2\).

Gọi \(M = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)\).

Khi \(n = 1\), ta có \(M = 1^2 = 1\), là số chính phương.

Khi giả sử \(M = k^2\) với \(k\) là một số nguyên dương bất kỳ khi \(n = m\).

Khi \(n = m + 1\), tức là ta thêm vào dãy số một số lẻ \(2(m + 1) - 1 = 2m + 1\):

\(M = 1 + 3 + 5 + \dots + (2m - 1) + (2m + 1) = k^2 + (2m + 1)\).

\(k^2 + (2m + 1)\) không nhất thiết phải là số chính phương, nhưng nếu ta chứng minh được \((2m + 1)\) luôn là một chuỗi số lẻ liên tiếp (một chuỗi số lẻ), thì \(k^2 + (2m + 1)\) sẽ là một số chính phương.

Vì vậy, từ việc chứng minh được \((2m + 1)\) là một chuỗi số lẻ liên tiếp, chúng ta có thể kết luận rằng \(M\) cũng là một số chính phương.

...Xem thêm

Answer 3