Giả sử rằng có một số nguyên dương n lớn hơn 2 mà không thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Xét hai trường hợp: 1. Nếu n là số nguyên tố, thì n có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố là chính nó. Đây là trường hợp đơn giản, vì n là số nguyên tố. 2. Nếu n không phải là số nguyên tố, thì n phải là một số chẵn hoặc một số lẻ không phải số nguyên tố. Ta sẽ xét hai trường hợp nhỏ: - Trường hợp 1: n là số chẵn. Theo định lý số học cơ bản, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể phân tích thành tổng của hai số nguyên tố. Vì vậy, nếu n là số chẵn, thì n có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba số nguyên tố bằng cách chọn một số nguyên tố p và phân tích n - p thành tổng của hai số nguyên tố. - Trường hợp 2: n là số lẻ không phải số nguyên tố. Theo định lý số học cơ bản, mọi số lẻ không phải số nguyên tố đều có thể phân tích thành tích của một số nguyên tố và một số nguyên tố khác có thể phân tích thành tổng của hai số nguyên tố. Vì vậy, nếu n là số lẻ không phải số nguyên tố, thì n có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba số nguyên tố bằng cách chọn hai số nguyên tố p và q và phân tích n - pq thành tổng của hai số nguyên tố.