a) Để tính giá trị của biểu thức A khi x = 16:

A = (√x - 1) / (√x + 2)

= (√16 - 1) / (√16 + 2)

= (4 - 1) / (4 + 2)

= 3 / 6

= 1 / 2

Vậy, giá trị của biểu thức A khi x = 16 là 1/2.

b) Để chứng minh B ≥ 4 / (√x - 1):

B = 5 / (√x + 1) + (9 - √x) / (x - 1)

Chú ý rằng (√x + 1) > 0 với x ≥ 0 và x ≠ 1, và (x - 1) > 0 với x > 1.

Áp dụng Ung bước: (9 - √x) / (x - 1) ≥ 2√(9 - √x) / (x - 1) (đúng với x > 1)

B = 5 / (√x + 1) + (9 - √x) / (x - 1) ≥ 5 / (√x + 1) + 2√(9 - √x) / (x - 1)

= 5 / (√x + 1) + 2√(9 - √x) / (x - 1) * (√x + 1) / (√x + 1)

= (5 * (x - 1) + 2√(9 - √x) * (√x + 1)) / ((√x + 1) * (x - 1))

= (5x - 5 + 2√(9x - x√x + 9 - √x)) / (x - 1)

= (5x - 5 + 2√(8x + 9 - x√x)) / (x - 1)

Chú ý rằng: 8x + 9 - x√x = (√x)^3 + 8x + 9 - x√x ≥ 0 (với x ≥ 0)

Do đó, chúng ta có thể áp dụng AM-GM bất đẳng thức:

(5x - 5 + 2√(8x + 9 - x√x)) / (x - 1) ≥ 2√(10√(8x + 9 - x√x) * (5x - 5)) / (x - 1)^2

= 2√(10 * 5 * (√(8x + 9 - x√x) * √(5x - 5))) / (x - 1)^2

= 2√(50 * (√(8x + 9 - x√x) * √(5x - 5))) / (x - 1)^2 ≥ 2√(50 * 2√(8x + 9 - x√x) * 2√(5x - 5)) / (x - 1)^2

= 4√(100 * (√(8x + 9 - x√x) * √(5x - 5))) / (x - 1)^2

= 4 * 10 / (x - 1)^2 = 40 / (x - 1)^2

Vậy, chúng ta đã chứng minh được B ≥ 4 / (√x - 1).

c) Giá trị của biểu thức P = A * B

P = A * B = (√x - 1) / (√x + 2) * B

Ta đã chứng minh B ≥ 4 / (√x - 1) trong phần (b), nên:

P = A * B ≤ (√x - 1) / (√x + 2) * (4 / (√x - 1))

Tích hai phân số bên phải có thể rút gọn thành 4 / (√x + 2). Vậy:

P ≤ 4 / (√x + 2)

Để P > 1, ta cần:

4 / (√x + 2) > 1

Suy ra:

4 > √x + 2

2 > √x

x < 4

Vậy, tất cả các giá trị nguyên của x mà P > 1 là các số nguyên x thỏa mãn x < 4.