Với $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng, chúng ta có thể lấy 2 trong số chúng để tạo thành một đường thẳng duy nhất. Số cặp điểm mà chúng ta có thể lấy được là:

$\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$

Tuy nhiên, khi ta vẽ một đường thẳng đi qua $k$ điểm (trong đó $k \geq 2$), ta không thể vẽ một đường thẳng khác đi qua cùng các điểm này được nữa. Vì vậy, số lượng đường thẳng ta có thể vẽ sẽ bị giảm do sự trùng lắp giữa chúng.

Số lượng đường thẳng phân biệt có thể tạo thành bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó sẽ là số lượng cặp điểm trừ đi số lượng các đường thẳng đã lặp lại. Số lượng các đường thẳng đã lặp sẽ chính là số cặp điểm thẳng hàng mà ta có thể vẽ đi qua.

Xét một cặp điểm bất kỳ, số lượng điểm còn lại trên mặt phẳng là $n-2$. Mỗi cặp điểm thẳng hàng sẽ xếp trong một dòng duy nhất của ma trận Vandermonde.
Vậy, số cặp điểm thẳng hàng sẽ là $n$ số hạng đầu tiên của tổng sau:

$\sum_{k=2}^n k = 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n-1)}{2} - 1$

Do đó, ta có số lượng đường thẳng phân biệt thông qua hai điểm bất kỳ là:

$\dbinom{n}{2} - \left(\dfrac{n(n-1)}{2} - 1 \right) = \dfrac{n(n-1)}{2} - \dfrac{n(n-1)}{2} + 1 = 1.$

Vậy, ta chỉ có thể vẽ được duy nhất một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ trong $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng mà không có ba điểm nào thẳng hàng. Số lượng đường thẳng cần tìm là $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$.