Gọi hai số cần tìm là x và y, ta có hệ phương trình sau:

Tổng hai số chia cho 12 dư 5: x + y ≡ 5 (mod 12) (1)
Hiệu hai số chia cho 6 dư 3: x - y ≡ 3 (mod 6) (2) Từ (1), ta có thể viết lại: x + y = 12k + 5 (với k là số nguyên) Đưa x + y vào (2), ta có: (x + y) - 2y ≡ 3 (mod 6) 12k + 5 - 2y ≡ 3 (mod 6) 6k + 1 - y ≡ 0 (mod 3) Do đó, y ≡ 1 (mod 3) Ta thử nghiệm giá trị của y từ 1 đến 11 và tìm x tương ứng để kiểm tra. Khi y = 1, từ (1) suy ra x = 9. Kiểm tra: (9 + 1) = 10 chia cho 12 dư 5, (9 - 1) = 8 chia cho 6 dư 2. Khi y = 4, từ (1) suy ra x = 1. Kiểm tra: (1 + 4) = 5 chia cho 12 dư 5, (1 - 4) = -3 không chia hết cho 6. Khi y = 7, từ (1) suy ra x = 10. Kiểm tra: (10 + 7) = 17 không chia hết cho 12, (10 - 7) = 3 chia cho 6 dư 3. Khi y = 10, từ (1) suy ra x = 3. Kiểm tra: (3 + 10) = 13 không chia hết cho 12, (3 - 10) = -7 không chia hết cho 6. Ta thấy chỉ có cặp số (9, 1) thỏa mãn đề bài, vậy số lớn là 9 và số bé là 1.