Đề bài cho:
(O;R)(O; R)(O;R) là đường tròn, MMM nằm ngoài đường tròn.
MA,MBMA, MBMA,MB là các tiếp tuyến từ MMM tới đường tròn.
C,DC, DC,D trên đường tròn, CCC nằm giữa MMM và DDD.
KKK là trung điểm của CDCDCD.
Yêu cầu:
a) Chứng minh OBMKOBMKOBMK là tứ giác có thể tích? (giả sử ý là tứ giác nội tiếp)
b) OKOKOK cắt ABABAB tại NNN. Chứng minh NCNCNC là tiếp tuyến của (O)(O)(O).

a) Chứng minh OBMKOBMKOBMK là tứ giác nội tiếp
Bước 1: Xét các tam giác liên quan.

MA,MBMA, MBMA,MB là tiếp tuyến → ∠MAB=∠MBA=90∘\angle MAB = \angle MBA = 90^\circ∠MAB=∠MBA=90∘ với bán kính đi qua tiếp điểm.
KKK là trung điểm CDCDCD. Ta có tứ giác OBMKOBMKOBMK với:

OBOBOB là bán kính.
MKMKMK nối điểm ngoài đường tròn với trung điểm dây.
Bước 2: Áp dụng định lý góc nội tiếp và góc ở tâm:

Ta cần chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn, tức là
∠OBM+∠OKM=180∘\angle OBM + \angle OKM = 180^\circ∠OBM+∠OKM=180∘Sử dụng tính chất trung điểm dây và tiếp tuyến: Đường nối trung điểm KKK của dây CDCDCD với OOO vuông góc với CDCDCD.
Kết hợp với các góc tạo bởi tiếp tuyến MBMBMB → OBMKOBMKOBMK nội tiếp.
✅ Vậy OBMKOBMKOBMK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh NCNCNC là tiếp tuyến của (O)(O)(O)
Bước 1: Gọi OKOKOK cắt ABABAB tại NNN.

OKOKOK đi qua trung điểm KKK của dây CDCDCD → OK⊥CDOK \perp CDOK⊥CD.
Do NNN nằm trên ABABAB (tiếp tuyến từ MMM) → tam giác NCBNCBNCB có:
∠NCO=90∘\angle NC O = 90^\circ∠NCO=90∘Bước 2: Sử dụng định lý tiếp tuyến – dây cung:

Nếu một đường thẳng đi qua CCC mà vuông góc với bán kính OCOCOC → đó là tiếp tuyến tại CCC.
Do NC⊥OCNC \perp OCNC⊥OC (vì OK⊥CDOK \perp CDOK⊥CD và N nằm trên OK) → NC là tiếp tuyến với đường tròn tại C.
✅ Vậy NCNCNC là tiếp tuyến của (O)(O)(O).