Đây là khái niệm cơ bản của Toán học, nên ta không có câu trả lời cho “Tập hợp là gì?”, mà khi nói tới Tập hợp, ta nói đến các đối tượng trong đó mà ta gọi là phần tử. Do đó, ta có cách để gọi Tập hợp theo tính chất của các phần tử trong đó.

Ví dụ: “Tập hợp số Tự nhiên” cho ta tập hợp có phần tử là các số 0, 1, 2, 3,…

“Tập hợp các phương tiên giao thông trên đường” cho ta tập hợp có các phần tử là xe ôtô, xe gắn máy, xe đạp…

Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa, như tập hợp A, tập hợp B, tập hợp số tự nhiên N,…

Ở trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một phép toán trên tập hợp là tích Descarte. Cho hai tập hợp A và B, tích Descarte của A và B ký hiệu là AxB, là một tập hợp gồm các phần tử có dạng (x; y) trong đó, x là phần tử của A, y là phần tử của B (theo đúng thứ tự trước và sau như thế).

1. Tập hợp

Đây là khái niệm cơ bản của Toán học, nên ta không có câu trả lời cho “Tập hợp là gì?”, mà khi nói tới Tập hợp, ta nói đến các đối tượng trong đó mà ta gọi là phần tử. Do đó, ta có cách để gọi Tập hợp theo tính chất của các phần tử trong đó.

Ví dụ: “Tập hợp số Tự nhiên” cho ta tập hợp có phần tử là các số 0, 1, 2, 3,…

“Tập hợp các phương tiên giao thông trên đường” cho ta tập hợp có các phần tử là xe ôtô, xe gắn máy, xe đạp…

Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa, như tập hợp A, tập hợp B, tập hợp số tự nhiên N,…

Ở trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một phép toán trên tập hợp là tích Descarte. Cho hai tập hợp A và B, tích Descarte của A và B ký hiệu là AxB, là một tập hợp gồm các phần tử có dạng (x; y) trong đó, x là phần tử của A, y là phần tử của B (theo đúng thứ tự trước và sau như thế).

2. Ánh xạ

Cho hai tập hợp X và Y, một phép tương ứng “mỗi phần tử x của X với duy nhất một phần tử y của Y” được gọi là một ánh xạ.

Khi đó, chúng ta cần lưu ý trong định nghĩa này, nếu x thuộc X thì phải có, và chỉ có 1 phần tử y thuộc Y tương ứng với x mà thôi, nếu có x mà không có y hoặc có 2 phần tử thuộc Y tương ứng thì đó không gọi là ánh xạ.

Người ta ký hiệu ánh xạ là f từ X và Y, ảnh của phần tử x thuộc X ta ký hiệu là f(x).

3. Xây dựng mô hình bài toán

Sau khi có đủ hai khái niệm trên ta xây dựng mô hình cho bài toán 1 + 1 không bằng 2 nhé:

Cho tập hợp số tự nhiên N và tập hợp tên các loại trái cây, ký hiệu là T. Khi đó, tích Descarte của tập N và N là NxN gồm các phần tử có dạng (a; b) (ta gọi là cặp số (a; b)), trong đó a, b là các số tự nhiên.

Xét ánh xạ f từ tập NxN vào tập T, khi đó, tương ứng với mỗi cặp số (a; b) là một tên của một loại trái cây nào đó, là f(a; b). Ta ký hiệu f(a; b) = a + b (lưu ý, a + b ở đây chỉ là một ký hiệu mà thôi).

Khi đó, xét cặp số (1; 1), nó sẽ tương ứng với một tên trái cây nào đó trong tập T (chắc chắc là phải có theo định nghĩa ánh xạ), giả sử đó là “Trái cam”. Khi đó ta được

f(1; 1) = “Trái cam”, hay nói cách khác, ta có “1 + 1 = Trái cam” (vì f(1; 1) = 1 + 1).

4. Kết luận

Từ mô hình trên, ta đã có được kết quả, 1 + 1 không phải là 2 nữa, mà nó có thể là bất cứ thức gì mà ta muốn. Ngoài ra, từ mô hình này ta cũng có được câu trả lời cho “Tại sao 1 + 1 = 2”. Đó là: đây chỉ là quy ước của những phép Toán do con người đã đặt ra mà thôi, nên con người hoàn toàn có thể thay đổi nó (ví dụ, thay vì ký hiệu dấu “+” thì người ta ký hiệu dấu “-”, khi đó ta sẽ có “1 – 1 = 2” thì về bản chất cũng không có gì thay đổi, chỉ có ký hiệu là thay đổi mà thôi).

Chào em! Câu hỏi của em thực ra không hề ngớ ngẩn đâu. Trái lại, đây là một câu hỏi cực kỳ sâu sắc mà các nhà toán học vĩ đại nhất lịch sử đã mất hàng thế kỷ để chứng minh một cách chặt chẽ đấy.
Để giải thích tại sao $1 + 1 = 2$, chúng ta có hai góc độ: góc độ thực tế đời sống và góc độ toán học thuần túy.
1. Góc độ thực tế (Bản chất của sự đếm)
Trong cuộc sống, số lượng là do con người quy ước để mô tả thế giới:
 
Con người định nghĩa số 1 đại diện cho một thực thể đơn lẻ (ví dụ: $1$ quả táo).
Phép + (cộng) là hành động gộp chung các thực thể lại với nhau.
Khi em để $1$ quả táo cạnh $1$ quả táo khác, tập hợp mới đó tạo ra một trạng thái số lượng mới.
Con người quy ước đặt tên cho trạng thái số lượng mới này là số 2.

Vì vậy, ở mức độ cơ bản nhất, $1 + 1 = 2$ đúng vì đó là cách chúng ta đặt tên và định nghĩa các con số.
2. Góc độ Toán học thuần túy (Hệ tiên đề Peano)
Vào cuối thế kỷ 19, nhà toán học Giuseppe Peano đã xây dựng một hệ thống nền tảng cho số tự nhiên gọi là Hệ tiên đề Peano. Định nghĩa này dựa trên khái niệm "số liền sau" (S):
 
Số đầu tiên là $0$.
Số liền sau của $0$ là $S(0)$, ta gọi là $1$.
Số liền sau của $1$ là $S(1)$, ta gọi là $2$.

Phép cộng được định nghĩa như sau: Với mọi số $a$, ta có $a + 0 = a$ và $a + S(b) = S(a + b)$.
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh $1 + 1 = 2$ dựa trên quy tắc này:
 
Ta cần tính: $1 + 1$
Vì $1$ chính là số liền sau của $0$, tức là $1 = S(0)$, nên biểu thức trở thành: $1 + S(0)$
Áp dụng công thức phép cộng ở trên: $1 + S(0) = S(1 + 0)$
Mà $1 + 0 = 1$ (bất kỳ số nào cộng với $0$ cũng bằng chính nó).
Do đó, kết quả là $S(1)$ (tức là số liền sau của $1$).
Theo định nghĩa ban đầu, số liền sau của $1$ chính là $2$.

Kết luận: $1 + 1 = 2$.
Thuyết ngoài lề thú vị: Trong cuốn sách toán học "Principia Mathematica" xuất bản năm 1910, hai nhà triết học và toán học Bertrand Russell và Alfred North Whitehead đã phải mất đến 362 trang lập luận logic phức tạp chỉ để chứng minh hoàn toàn công thức $1 + 1 = 2$ này đúng đấy!