Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

A. Phương pháp giải

- Nhắc lại Phương trình đường tròn: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường tròn có dạng:

+ Dạng 1: Đương tròn (C) tâm I (a;b), bán kính R, (C): (x - a)² + (y - b)² = R²

+ Dạng 2: (C): x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (điều kiện: a² + b² - c > 0) khi đó đường tròn tâm I (a;b) và bán kính 

- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

→ Như vậy, để viết phương trình (C’) ta chỉ cần tìm ảnh tâm I của (C) qua phép tịnh tiến.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình (C): (x + 3)² + (y – 1)² = 4 với  = (-3;1) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ  = (-3;1)

Hướng dẫn giải:

* Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2

Khi đó:  (I) = I'(-6;2) và R’ = R = 2. Vậy:  (C) = (C'): (x + 6)² + (y - 2)² = 4

* Cách 2: Gọi M(x;y) ∈ (C), 

Ta có: M ∈ (C) ⇔ (x’ + 3 + 3)² + (y’ – 1 – 1)² = 4 ⇔ M’ ∈ (C'): (x + 6)² + (y – 2)² = 4

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo , cho đường tròn (C) có phương trình . Tìm ảnh của (C): x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ  = (2;-3)

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc đường tròn (C), ta có x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 (*)

Gọi 

Thay vào phương trình (*) ta được (x' - 2)² + (y' + 3)² + 2(x' - 2) - 4(y' + 3) - 4 = 0

⇔ x'² + y'² -2x' + 2y' - 7 = 0.

Vậy ảnh của (C) là đường tròn(C'): x² + y² - 2x + 2y - 7 = 0.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy (C) có tâm I(-1;2) và bán kính r = 3. Gọi (C') =  ((C)) và I'(x';y'); r' là tâm và bán kính của (C').

Ta có  và r' = r = 3 nên phương trình của đường tròn (C') là (x - 1)² + (y + 1)² = 9.

Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ  sao cho  (C) = (C')

a) (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 4 và (C’): (x + 5)² + (y – 1)² = 4

b) (C): x² + y² – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x² + y² + 4x – 6y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Từ (C), ta có: tâm I(2;-3) và từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1)

Khi đó:  (C) = (C') ⇒  = (-7;4)

b) Từ (C), ta có: tâm I(1;-2) và từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3)

Khi đó:  (C) = (C') ⇒  = (-3;5)

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 3)² = 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ  = (3;2) là đường tròn có phương trình:

A. (x + 2)² + (y + 5)² = 4.

B. (x - 2)² + (y - 5)² = 4.

C. (x - 1)² + (y + 3)² = 4.

D. (x + 4)² + (y - 1)² = 4.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ  = (3;3) và đường tròn (C): x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0. Ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ  là đường tròn nào?

A. (C'): (x - 4)² + (y - 1)² = 4.

B. (C'): (x - 4)² + (y - 1)² = 9.

C. (C'): (x + 4)² + (y + 1)² = 9.

D. (C'): x² + y² + 8x + 2y - 4 = 0.

Câu 3. Cho (3;-2) và đường tròn (C): x² + y² - 4x + 4y - 1 = 0. Ảnh của (C) qua  là (C'):

A. x² + y² + 8x + 2y - 4 = 0

B. (x + 5)² + (y - 4)² = 9.

C. (x + 1)² + y² = 9.

D. (x - 5)² + (y + 4)² = 9.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C₁) và (C₂) bằng nhau có phương trình lần lượt là (x - 1)² + (y + 2)² = 16 và (x + 3)² + (y - 4)² = 16. Giả sử T là phép tịnh tiến theo vectơ  biến (C₁) thành (C₂). Tìm tọa độ của vectơ .

A.  = (-4;6).

B.  = (4;-6).

C.  = (3;-5).

D.  = (8;-10).

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 4x - 6y - 5 = 0. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ  = (1;-2) và  = (1;-1) thì đường tròn (C) biến thành đường tròn (C') có phương trình là:

A. x² + y² - 18 = 0.

B. x² + y² - x + 8y + 2 = 0.

C. x² + y² + x - 6y - 5 = 0.

D. x² + y² - 4y - 4 = 0.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 9 và đường tròn(C'): (x + 1)² + (y - 3)² = 9. Phép tịnh tiến theo véc tơ  biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Khi đó véc tơ  có toạ độ là

A.  = (5;2).

B.  = (2;-5).

C.  = (-2;5).

D.  = (2;5).

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x + y - 1 = 0 và đường tròn (C): (x - 3)² + (y - 1)² = 1. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ  = (4;0) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂). Giá trị x₁ + x₂ bằng:

A. 5.

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x + m)² + (y - 2)² = 5 và (C'): x² + y² + 2(m - 2)y - 6x + 12 + m² = 0. Vectơ  nào dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến biến (C) thành (C')?

A.  = (2;1).

B.  = (-2;1).

C.  = (-1;2).

D.  = (2;-1).

Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Câu 10. Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB. Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm

A. Phép tịnh tiến theo vectơ  biến ∆ thành:

A. Đường kính của đường tròn (C) song song với ∆.

B. Tiếp tuyến của (C) tại điểm B.

C. Tiếp tuyến của (C) song song với AB.

D. Đường thẳng song song với ∆và đi qua O