Cho $m={\log }_a\sqrt{ab}$ với a; b > 1 và P = log²_ab + 54log_ba.  Khi đó giá trị của m để P  đạt giá trị nhỏ nhất là?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Cho  x; y > 0 thỏa mãn log₂x + log₂y = log₄( x + y)  Tìm x; y để biểu thức P = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $x=y=\sqrt[3]{2}$

B. $x=\sqrt[3]{2};y=2$

C. x = y= 1

D. $y=\sqrt[3]{2};x=2\sqrt[3]{2}$

Cho log₉x = log₁₂y = log₁₆ (x + y).  Giá trị của tỉ số x/y là:

A. $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Xét các số thực a; b thỏa mãn a > b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P của biểu thức $P={\log }_{\frac{a}{b}}^2{a}^2+3 {\log }_b\frac{a}{b}$

A. 19.

B.  13.

C. 14.

D. 15.

Cho f(1) = 1; f(m + n) = f(m) + f( n) + m.n với các số nguyên dương m; n .Khi đó giá trị của biểu thức $T=\log \left(\frac{f\left(2017\right)-f\left(2016\right)-17}{2}\right)$ là

A.  3

B. 4

C. 6

D. 9

Cho x; y là các số thực lớn hơn  thoả mãn x² + 9y² = 6xy . Tính $M=\frac{1+{\log }_{12}x+{\log }_{12}y}{2 {\log }_{12}\left(x+3y\right)}$

A. M = 1/4.

B.  M = 1.

C. M = 1/2.

D.  M = 1/3.

Tính giá trị của biểu thức $P=\ln \left(\tan 1°\right)+\ln \left(\tan 2°\right)+\ln \left(\tan 3°\right)+...+\ln \left(\tan 89°\right)$

A.   P = 1

B. P = 1/2

C.  P  = 0

D. P = 2

Cho các số thực a; b; c thỏa mãn: $a^{{\log }_{3}7}=27, b^{{\log }_{7}11}=49, c^{{\log }_{11}25}=\sqrt{11}$. Giá trị của biểu thức $\mathrm{A}={\mathrm{a}}^{{\left({\log }_{3}7\right)}^2}+{\mathrm{b}}^{{\left({\log }_{7}11\right)}^2}+{\mathrm{c}}^{{\left({\log }_{11}25\right)}^2}$ là:

A. 519

B.  729

C.  469

D.  129

Thu gọn biểu thức $A=\frac{1}{{\log }_{a}b}+\frac{1}{{\log }_{a^2}b}+\frac{1}{{\log }_{a^2}b}+...+\frac{1}{{\log }_{a^n}b}$ ta được:

A. $A=\frac{n(n+1)}{{\log }_{a}b}$

B. $A=\frac{n+1}{2{\log }_{a}b}$

C. $A=\frac{n(n+1)}{2{\log }_{a}b}$

D. $A=\frac{n(n-1)}{{\log }_{a}b}$

Cho a; b > 0, Nếu viết ${\log }_5{\left(\frac{a^{10}}{\sqrt[6]{b^5}}\right)}^{-0,2}=x{\log }_{5}a+y{\log }_{5}b$ thì xy bằng bao nhiêu ?

A. -1/3

B. 1/3

C. 3

D. - 3

Kết quả rút gọn của biểu thức $C=\sqrt{{\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2}\left({\log }_{a}b-{\log }_{ab}b\right)\sqrt{{\log }_{a}b}$ là:

A. log_ab

B. $\sqrt{{\log }_{a}b}$

C. ${\log }_a^{2}b$

D. ${\left(\sqrt{{\log }_{a}b}\right)}^3$

Rút gọn $A=\frac{1}{{\log }_{2}x}+\frac{1}{{\log }_{3}x}+\frac{1}{{\log }_{4}x}+...+\frac{1}{{\log }_{2011}x}$

A. log_x2012!

B.log_x1002!

C.log_x2011!

D. log_x2011.

Rút gọn biểu thức: $A=\left({\log }_b^{3}a+2 {\log }_b^{2}a+{\log }_{b}a\right)\left({\log }_{a}b-{\log }_{ab}b\right)-{\log }_{b}a$ là:

A. 0 

B. 1

C. 3

D. 2

Cho log_ax = p; log_bx = q; log_cx = r ( a; b; c ≠ 1  và x > 0) . Hãy tính log_abcx

A. ${\log }_{abc}\left(x\right)=\frac{pqr}{pq+qr+rp}$

B. ${\log }_{abc}\left(x\right)=pqr$

C. ${\log }_{abc}\left(x\right)=\frac{pqr}{p+q+r}$

D. ${\log }_{abc}\left(x\right)=\frac{pq+qr+rp}{p+q+r}$

Cho các số thực x; y và x² + y² = 3xy. Khẳng định nào sau đây là đúng

A. ${\log }_5\left(x+y\right)=\frac{1+{\log }_5\left(xy\right)}{2}$

B. log₅( x + y) ²  = 1 + log₅x + log₅y

C. log₅(x + y) ² = 1 + log₅( xy)

D. Tất cả đều đúng

Cho các số thực dương x; y thỏa mãn x² + y² = 14. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. ${\log }_2\left(\frac{x+y}{14}\right)$=${\log }_2$x+${\log }_2$y

B. ${\log }_2\left(\frac{x+y}{16}\right)$=x+${\log }_2$y

C. ${\log }_2(x+y)=\frac{{\log }_{2}x+{\log }_{2}y}{2}$

D. ${\log }_2\left(x+y\right)=2+\frac{{\log }_2\left(xy\right)}{2}$

Cho các số thực dương x; y > 0 thỏa mãn x² + y² = 8xy. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\log (x+y)=\frac{1+\log x+\log y}{2}$

B. log( x + y) = logx + log y + 1

C. log(x + y) = logx + logy - 1

D. log(x + y) = 10( logx + logy)

Cho các số thực a; b > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. ${\log }_{a\sqrt{b}}\left(ab\right)=\frac{1+{\log }_a\left(b\right)}{2+{\log }_a\left(b\right)}$

B. ${\log }_{a\sqrt{b}}\left(ab\right)=\frac{2+{\log }_a\left(b\right)}{1+{\log }_a\left(b\right)}$

C. ${\log }_{a\sqrt{b}}\left(ab\right)=\frac{2+2{\log }_a\left(b\right)}{2+{\log }_a\left(b\right)}$

D. ${\log }_{a\sqrt{b}}\left(ab\right)=\frac{2+{\log }_a\left(b\right)}{2+2{\log }_a\left(b\right)}$

Cho log₂6 = a và log₃5 = b  . Hãy tính ${\log }_{12}\left(\sqrt{20}\right)$ theo a,b.

A.. ${\log }_{12}\left(\sqrt{20}\right)=\frac{ab-b+2}{2(a+1)}$

B. ${\log }_{12}\left(\sqrt{20}\right)=\frac{ab+b-2}{2(a+1)}$

C. ${\log }_{12}\left(\sqrt{20}\right)=\frac{ab+b-2}{2(a-1)}$

D. ${\log }_{12}\left(\sqrt{20}\right)=\frac{ab-b+2}{2(a-1)}$

Cho $m={\log }_a\left(\sqrt[3]{ab}\right)$, với a> 1 ; b> 1 và $\mathrm{P}={\log }_{\mathrm{a}}^2 \mathrm{b}+16{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{a}$. Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.

A. m = 1.

B. m = 1/2 .

C. m = 4.

D.m = 2.

Cho log_ba = x  và log_bc = y . Hãy biểu diễn ${\log }_{a^2}\left(\sqrt[3]{b^5{c}^4}\right)$ theo x và y:

A. ${\log }_{a^2}\left(\sqrt[3]{b^5{c}^4}\right)=\frac{5+4y}{6x}$

B. ${\log }_{a^2}\left(\sqrt[3]{b^5{c}^4}\right)=\frac{20y}{3x}$

C. ${\log }_{a^2}\left(\sqrt[3]{b^5{c}^4}\right)=\frac{5+3y^4}{3x^2}$

D. ${\log }_{a^2}\left(\sqrt[3]{b^5{c}^4}\right)=20x+\frac{20y}{3}$

Cho log₂3 = a; log₃5 = b; log₇2 = c  . Hãy tính log₁₄₀63 theo a; b; c

A. $\frac{2ac+1}{abc+2c+1}$

B. $\frac{2ac+1}{abc+2c-1}$

C. $\frac{2ac-1}{abc+2c+1}$

D. $\frac{2ac+1}{abc-2c+1}$

Biết log₂₇5 = a; log₈7 = b; log₂3 = c  thì log₁₂ 35 tính theo a; b; c bằng:

A. $\frac{3(b+ac)}{c+2}$

B. $\frac{3b+2ac}{c+1}$

C. $\frac{3b+2ac}{c+2}$

D. $\frac{3(b+ac)}{c+1}$

Nếu log₈3 = p  và log₃5 = q  thì log 5 bằng:

A. $\frac{1+3pq}{p+q}$

B. $\frac{3pq}{1+3pq}$

C. p.q

D. $\frac{3p+q}{5}$

Cho a = log₃2  và  b = log₃5. Tính log₁₀ 60 theo a và b.

A. $\frac{2a+b+1}{a+b}$

B. $\frac{2a+b-1}{a+b}$

C. $\frac{2a-b+1}{a+b}$

D. $\frac{a+b+1}{a+b}$

Cho a = log₅3; b = log₇5 . Tính log₁₅175 theo a và b.

A. ${\log }_{15}\left(105\right)=\frac{1+\mathrm{a}+\mathrm{ab}}{(1+\mathrm{a})\mathrm{b}}$

B. ${\log }_{15}\left(105\right)=\frac{1+\mathrm{b}+\mathrm{ab}}{1+\mathrm{a}}$

C. ${\log }_{15}\left(105\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+1}{\mathrm{b}(1+\mathrm{a})}$

D. ${\log }_{15}\left(105\right)=\frac{1+\mathrm{b}+\mathrm{ab}}{(1+\mathrm{a})\mathrm{b}}$

Cho a = log₂3; b = log₃5 . Khi đó log₁₂90 tính theo a; b bằng:

A. $\frac{\mathrm{ab}+2\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}-2}$

B. $\frac{\mathrm{ab}-2\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}-2}$

C. $\frac{\mathrm{ab}-2\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}+2}$

D. $\frac{\mathrm{ab}+2\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}+2}$

Cho a = log₃5; b = log₇5. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${\log }_{15}\left(21\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{ab}+\mathrm{b}}$

B. ${\log }_{15}\left(21\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{a}+1}$

C. ${\log }_{15}\left(21\right)=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}+1}$

D. ${\log }_{15}\left(21\right)=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{ab}+\mathrm{b}}$

Đặt a = log₂3 ; b = log₅3 . Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b.

A. ${\log }_6\left(45\right)=\frac{\mathrm{a}+2\mathrm{ab}}{\mathrm{ab}}$

B. ${\log }_6\left(45\right)=\frac{2{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{ab}}{\mathrm{ab}}$

C. ${\log }_6\left(45\right)=\frac{\mathrm{a}+2\mathrm{ab}}{\mathrm{ab}+\mathrm{b}}$

D. ${\log }_6\left(45\right)=\frac{2{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{ab}}{\mathrm{ab}+\mathrm{b}}$

Đặt log₂3 = a và log₃5 = b. Hãy biểu diễn log₁₂15 theo a và b.

A. ${\log }_{12}\left(15\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ab}}{\mathrm{b}+2}$

B. ${\log }_{12}\left(15\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+2}$

C. ${\log }_{12}\left(15\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{ab}+2\mathrm{a}}$

D. ${\log }_{12}\left(15\right)=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{ab}+2\mathrm{b}}$

Đơn giản biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{{\mathrm{a}}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{\mathrm{b}}+{\mathrm{b}}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{\mathrm{a}}}{\sqrt[6]{\mathrm{a}}+\sqrt[6]{\mathrm{b}}} (\mathrm{a};\mathrm{b}>0)$ ta được:

A. $\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{ab}}$

B. $\mathrm{A}=\sqrt[3]{\mathrm{ab}}$

C. $\mathrm{A}=\sqrt[6]{\mathrm{ab}}$

D. $\mathrm{A}=\sqrt[6]{\mathrm{a}}-\sqrt[6]{\mathrm{b}}$

Biết 4^x + 4^-x = 23 tính giá trị của biểu thức P = 2^x + 2^-x:

A. 5

B. $\sqrt{27}$

C. $\sqrt{23}$

D. 25

Đơn giản biểu thức $\mathrm{A}=\left(1-2\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right):{\left(\sqrt{\mathrm{b}}-\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2$ ta được:

A. A = a - b

B. A = a

C. A = 1/a

D. A = a + b

Cho a + b = 1  thì $\frac{4^{\mathrm{a}}}{4^{\mathrm{a}}+2}+\frac{4^{\mathrm{b}}}{4^{\mathrm{b}}+2}$ bằng

A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Đơn giản biểu thức $\mathrm{A}=\sqrt[3]{{\mathrm{a}}^3\sqrt[3]{\frac{1}{{\mathrm{a}}^2}}\sqrt{{\mathrm{a}}^3}}$ ta được:

A. $\mathrm{A}={\mathrm{a}}^{\frac{5}{6}}$

B. $\mathrm{A}={\mathrm{a}}^{\frac{17}{18}}$

C. $\mathrm{A}={\mathrm{a}}^{\frac{5}{9}}$

D. $\mathrm{A}={\mathrm{a}}^{\frac{5}{16}}$

Viết biểu thức $\sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{8}}}$ về dạng $2^{\mathrm{x}}$ và biểu thức $\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt[3]{4}}$ về dạng 2^y. Ta có x + y bằng

A. $\frac{2017}{567}$

B. $\frac{11}{6}$

C. $\frac{53}{24}$

D. $\frac{2017}{576}$

Cho x > 0 và y > 0. Viết biểu thức ${\mathrm{x}}^{\frac{4}{5}}.\sqrt[6]{{\mathrm{x}}^5\sqrt{\mathrm{x}}}$; về dạng ${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}$ và biểu thức $y^{\frac{4}{5}}.\sqrt[6]{y^5\sqrt{y}}$ về dạng ${\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}$. Ta có m – n = ?

A. -11/6

B. 11/6

C. 8/5

D. -8/5

Phương trình ${\log }_2\left(4x\right)-{\log }_{\frac{x}{2}}2=3$  có tất cả bao nhiêu nghiệm ?

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. vô nghiệm

Phương trình ${{\log }^2}_3-2{\log }_{\sqrt[]{3}}x-2{\log }_{\frac{1}{3}}x-3=0$   có hai nghiệm phân biệt là x₁ ; x₂. Tính giá trị của biểu thức P  = log₃x₁ + log₂₇x₂ biết x₁ < x₂.

A. P = 0

B. P = 1

C. P = 8/3

D. P = 1/3

Phương trình lg( x - 3) + lg( x - 2) = 1 - lg5 có tất cả bao nhiêu nghiệm trên tập số thực.

A. 2

B. 3

C . 1

D. 4