Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,5 và tổng số tế bào con tạo ra là 216. Biết rằng khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại C bằng trung bình cộng số tế bào loại A và loại B. Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại B được tạo ra ít hơn số tế bào con loại C được tạo ra là 40. Tính số tế bào con mỗi loại lúc ban đầu.

Một quỹ đầu tư dự kiến dành khoản tiền 1,2 tỉ đồng để đầu tư vào cồ phiếu. Để thấy được mức độ rủi ro, các cổ phiếu được phân thành ba loại: rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp. Ban Giám đốc của quỹ ước tính các cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp sẽ có lợi nhuận hằng năm lần lượt là 15%, 10% và 6%. Nếu đặt ra mục tiêu đầu tư có lợi nhuận trung bình là 9%/năm trên tổng số vốn đầu tư, thì quỹ nên đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi loại cổ phiếu? Biết rằng, để an toàn, khoản đầu tư vào các cổ phiếu rủi ro thấp sẽ gấp đôi tổng các khoản đầu tư vào các cổ phiếu thuộc hai loại còn lại.

Bốn ngư dân góp vốn mua chung một chiếc thuyền. Số tiền người đầu tiên đóng góp bằng một nửa tổng số tiền của những người còn lại. Người thứ hai đóng góp bằng $\frac{1}{3}$ tổng số tiền của những người còn lại. Người thứ ba đóng góp bằng $\frac{1}{4}$ tổng số tiền của những người còn lại. Người thứ tư đóng góp 130 triệu đồng. Chiếc thuyền này được mua giá bao nhiêu?

Một viên lam ngọc và hai viên hoàng ngọc trị giá gấp 3 lần một viên ngọc bích. Còn bảy viên lam ngọc và một viên hoàng ngọc trị giá gấp 8 lần một viên ngọc bích. Biết giá tiền của bộ ba viên ngọc này là 270 triệu đồng. Tính giá tiền mỗi viên ngọc.

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{ll}x+2y-z& =-4\\ x-2y+2z& =9\\ 2x+y-z& =-2\end{array}\right.$(IV)

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{r}x+2y-z=-4\\ 4y-3z=-13\left(2\right)\\ -5z=-15\left(3\right)\end{array}\right.$ (III)

Nêu định nghĩa hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tương đương.

Cho phương trình: 2x + y – 3z = 1 (1).

a) Nêu các ẩn của phương trình (1).

b) Với mỗi ẩn của phương trình (1), xác định bậc của ẩn đó.

Trong kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam có bài toán về Trâu ăn cỏ như sau:

Trâu đứng ăn năm,

Trâu nằm ăn ba,

Lụ khụ trâu già,

Ba con một bó,

Trăm con ăn cỏ,

Trăm bó no nê.

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm, trâu già?

Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết:

a) Parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = –2; x = 1 và đi qua điểm M(–1; 3);

b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ y = –2 và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng –4 tại x = 2.

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (–1; 0; 1), $(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};-1)$ có là nghiệm của các hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?

a) $\{\begin{array}{l}2x-y+z=-1\\ -x+2y=1\\ 3y-2z=-2;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}4x-2y+z=2\\ 8x+3z=1\\ -6y+2z=1;\end{array}$ 

c) $\{\begin{array}{l}3x-2y+zx=2\\ xy-y+2z=1\\ x+2y-3yz=-2.\end{array}$

Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).

Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.

Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương "dẹt" hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.106 km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov).

Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).

Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và chứng minh rằng, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$ thuộc đường tròn phụ.

Cho elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF1 = 2MF2 với F1 và F2 là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F1 âm).

Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cho elip $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1.$

a) Xác định đỉnh và độ dài các trục của elip.

b) Xác định tâm sai và các đường chuẩn của elip.

c) Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip, biết điểm M có hoành độ bằng –3.

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$. Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm $M$ thuộc elip và có hoành độ bằng –2.

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), ở đây $c=\sqrt{a^2-b^2}$ (H.3.6). Xét các đường thẳng ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}$ và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}$. Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$ và $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}$ theo a và c.

Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 10⁶ km trên thực tế.

Cho elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Cho elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y).

a) Tính MF₁² – MF₂².

b) Khi điểm M thuộc elip (MF₁ + MF₂ = 2a), tính MF₁ – MF₂, MF₁, MF₂.

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x² + y² = a² và số $k$ (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x₀; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).

a) Tính toạ độ của N theo x₀; y₀; k.

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Tìm số nguyên dương n sao cho $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^n{C}_n^n=243.$

Tìm số tự nhiên n thoả mãn $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=2^{2021}.$

Tính tổng sau đây:

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰.

Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90 . Tìm n.

Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰.

Viết khai triển theo nhị thức Newton:

a) (x + y)⁶;

b) (1 – 2x)⁵.

Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:

a) (x – 1)⁵;

b) (2x – 3y)⁴.