Cho hình nón $\left(N_1\right)$ có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón $\left(N_2\right)$ có đỉnh là tâm của đáy $\left(N_1\right)$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của $\left(N_2\right)$ như hình vẽ.

Khối nón $\left(N_2\right)$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng

A. $a+h=2\text{cm.}$

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x\left(\text{cm}\right)$  , chiều cao là $h\left(\text{cm}\right)$  và thể tích là $500{\text{cm}}^{\text{3}}.$  Tìm độ dài cạnh hình vuông $x$  sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

A.  $x=2\text{cm.}$

Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước $60\text{cm}\times 4\text{0cm}$ . Người ta cắt 6 hình vuông bằng nhau như hình vẽ, mỗi hình vuông cạnh bằng $x\text{cm}$ , rồi gập tấm bìa lại để được một hộp có nắp. Tìm $x$  để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. $x=\frac{20}{3}\text{cm.}$

Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là $6\sqrt{3}{\text{\hspace{0.17em}cm}}^{\text{3}}$ . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng $2\sqrt{6}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $1\text{cm}.$

B. Cạnh đáy bằng $2\sqrt{3}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $2\text{cm}.$

C. Cạnh đáy bằng $2\sqrt{2}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $3\text{cm}.$

D. Cạnh đáy bằng $4\sqrt{3}\text{cm}$  và cạnh bên bằng $\frac{1}{2}\text{cm}.$

Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a, người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau:

= Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là $V_1$  (Hình 1).

= Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác đều có thể tích là $V_2$  (Hình 2).

Tính tỉ số $k=\frac{V_1}{V_2}.$

A. $k=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a góc $\widehat{ABC}={60}^0$. Biết rằng $A^{\text{'}}O\perp \left(ABCD\right)$  và cạnh bên hợp với đáy một góc bằng ${60}^0.$  Tính thể tích V của khối đa diện $OAB{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.$

A.  $V=\frac{a^3}{6}.$

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và $\widehat{ABC}={120}^0$ . Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy bằng ${60}^0$ . Đỉnh A' cách đều các điểm $A,B,D$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V=\frac{3a^3}{2}$ . 

A.  $V=100{\text{cm}}^3.$

Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh $AC=2\sqrt{2}$ . Biết AC' tạo với mặt phẳng $\left(ABC\right)$  một góc ${60}^0$  và $A{C}^{\text{'}}=4$ . Tính thể tích V của khối đa diện $ABC{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

A.  $V=\frac{8}{3}.$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$  trùng với trung điểm H của BC. Góc tạo bởi cạnh bên AA' với mặt đáy là ${45}^0$ . Tính thể tích khối trụ ABC.A'B'C'.

A. $V=3$ .