Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ  $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ $\overrightarrow{a^{\text{'}}}$  làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là

A. $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a^{\text{'}}},k\ne 0\\ M\notin d^{\text{'}}\end{array}\right.$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$  (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O{P}^2}+\frac{1}{O{Q}^2}+\frac{1}{O{R}^2}=\frac{1}{8}$ . Biết mặt phẳng $\left(PQR\right)$  luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right)$  cố định. Đường thẳng $\left(d\right)$  thay đổi nhưng luôn đi qua $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm $A,B$  phân biệt. Diện tích lớn nhất của $\Delta AOB$  là

A. $\sqrt{15}$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{14}{3}$  và đường thẳng d có phương trình $\frac{x-4}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{2}$ . Gọi $A\left(x_0;y_0;z_0\right),x_0>0$ là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm $B,C,D$  sao cho ABCD là tứ diện đều.

Giá trị của biểu thức $P=x_0+y_0+z_0$  là

A. 6.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$  và điểm $M\left(1;3;-1\right)$ . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left(C\right)$  có tâm $J\left(a;b;c\right)$ .

Giá trị $2a+b+c$  bằng

A. $\frac{134}{25}$ .

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,0,-2) và đường thẳng $∆$ có phương trình là $\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{2}$ .

Phương trình mặt cầu tâm A, cắt $∆$ tại hai điểm A và B sao cho $BC=8$  là

A. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=16$ .

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3},{\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$

A. ${\Delta }_1$  song song với ${\Delta }_2$ .

B. ${\Delta }_1$  chéo với ${\Delta }_2$ .

C. ${\Delta }_1$  cắt ${\Delta }_2$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}}\\ y=-2+t^{\text{'}}\\ z=1+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

A. $M=\left(0;-1;4\right)$ .

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và $d_2:\frac{x+3}{4}=\frac{y+9}{8}=\frac{z+2}{m^2}\left(m\ne 0\right)$

Tập hợp các giá trị m thỏa mãn $d_1\text{//}{d}_2$  có số phần tử là:

A. 1.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2\left(m^2+m+2\right)x+\left(m^2-1\right)y+\left(m+2\right)z+m^2+m+1=0$

 luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z-1=0,\left(Q\right):2x+y-z+2=0$

và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2},{\Delta }_2:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ .

Đường thẳng $∆$  song song với hai mặt phẳng $\left(P\right),\left(Q\right)$  và cắt ${\Delta }_1,{\Delta }_2$  tương ứng tại $H,K$ . Độ dài đoạn HK bằng

A. $\frac{8\sqrt{11}}{7}$ .

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x+5y-z-2=0$  là

A. $\left(1;0;1\right)$ .

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{1}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-y+2z-5=0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $d\text{//}\left(\alpha \right)$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x+my+\left(m^2-1\right)z-7=0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

A. $m=1$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-5}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x-3y+2z-6=0$.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. d cắt và không vuông góc với (P).

Phương trình đường thẳng d đi qua O và vuông góc với $\left(\Delta \right):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$  và cách điểm M(3,1,0) một khoảng nhỏ nhất là

A. $\frac{x}{-17}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}.$Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  của đường thẳng $∆$ qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất.

A. $\overrightarrow{u}\left(2;2;-1\right)$ .

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left(d_1\right):\frac{x+7}{3}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-9}{4}$  và $\left(d_2\right):\frac{x}{3}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z+18}{4}$  bằng

A. 30.

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{3}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z-5=0$  bằng

A. $\frac{16}{3}$ .

A. $\sqrt{a^2+c^2}$ .

Cho phương trình mặt phẳng (P): 2x+y+z-3=0, đường thẳng $d^{\text{'}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$  và điểm $A\left(0;2;1\right)$ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách d và d' đạt giá trị lớn nhất.

A. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{-9}$ .

Cho phương trình mặt phẳng (P): 2x+y+z-3=0, đường thẳng $d^{\text{'}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$  và điểm $A\left(0;2;1\right)$ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách d và d' đạt giá trị lớn nhất.

A. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{-9}$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left(1;1;0\right),B\left(2;1;1\right),C\left(0;1;2\right),D\left(1;-1;1\right)$ . Khoảng cách giữa AB và CD là

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+6y+12z+9=0$ . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1+t\\ z=-2+2t\end{array}\right.$ .

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+1}{-1}$ .

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=4$  và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=t\\ z=m-1+t\end{array}\right.$ .

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A,B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

A. -1,5.

A. $m=-1$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$  và ${\Delta }_2:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$  bằng

A. $30°$ .

A. $0°$ .

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z+2}{3}$  và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+1=0$ . Đường thẳng $∆$ đi qua $E\left(-2;1;-2\right)$ , song song với $\left(P\right)$  có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(m;n;1\right)$ , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính $T=m^2-n^2$ .

A. $T=-5$ .

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+3=0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$  một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x-1}{-4}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-2}{3}$ .

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right):x-z.\sin \alpha +\cos \alpha =0;\left(Q\right):y-z.\cos \alpha -\sin \alpha =0;\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

A. $30°$ .