Câu 1: Tính diện tích tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O, R)\)
Diện tích của tam giác \(ABC\) có hai kết quả khả dĩ là \(\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}\) hoặc \(\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}\) tùy thuộc vào vị trí của hai điểm \(B\) và \(C\) đối với dây cung \(AB\) và \(AC\).
Giải chi tiết:
Xét đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\):
Dây cung \(AB = R\sqrt{3} \implies\) góc ở tâm \(\widehat{AOB} = 120^\circ\).
Dây cung \(AC = R \implies\) góc ở tâm \(\widehat{AOC} = 60^\circ\).

Ta chia làm 2 trường hợp hình học:
Trường hợp 1: Hai điểm \(B\) và \(C\) nằm về hai phía khác nhau so với đường kính đi qua \(A\).
Khi đó, góc ở tâm \(\widehat{BOC} = \widehat{AOB} + \widehat{AOC} = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\).
Suy ra \(BC\) là đường kính của đường tròn \((O)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot R=\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}\)
Trường hợp 2: Hai điểm \(B\) và \(C\) nằm về cùng một phía so với đường kính đi qua \(A\).
Khi đó, góc ở tâm \(\widehat{BOC} = \widehat{AOB} - \widehat{AOC} = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ\).
Góc nội tiếp \(\widehat{BAC}\) chắn cung \(BC\) không chứa \(A\) nên \(\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC} = 30^\circ\).
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin (\widehat{BAC})=\frac{1}{2}\cdot R\sqrt{3}\cdot R\cdot \sin (30^{\circ })=\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}\)

Câu 2: Tìm giao điểm của đường tròn \((C)\) và đường thẳng \(d\)
Tọa độ các giao điểm của đường tròn \((C)\) và đường thẳng \(d\) là \(A(2, 4)\) và \(B(5, 1)\).
Giải chi tiết:
Viết phương trình đường thẳng \(d\):
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(5, 1)\) và có hệ số góc \(k = -1\) có phương trình:
\(y-1=-1(x-5)\implies y=-x+6\quad \text{hay}\quad x+y-6=0\)
Tìm tọa độ giao điểm:
Thế \(y = 6 - x\) vào phương trình đường tròn \((C): (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9\), ta được:
\((x-2)^{2}+(6-x-1)^{2}=9\implies (x-2)^{2}+(5-x)^{2}=9\)
\(x^{2}-4x+4+25-10x+x^{2}=9\implies 2x^{2}-14x+20=0\)
Chia cả hai vế cho 2 ta được: \(x^2 - 7x + 10 = 0 \implies (x - 2)(x - 5) = 0\)Với \(x = 2 \implies y = 6 - 2 = 4 \implies A(2, 4)\)
Với \(x = 5 \implies y = 6 - 5 = 1 \implies B(5, 1)\) (trùng với điểm \(M\))

PHẦN SỐ HỌC / ĐẠI SỐ

Câu 1: Tìm số nguyên dương \(n\) để \(n^2 + 2026\) là số chính phương
Không tồn tại số nguyên dương \(n\) nào thỏa mãn điều kiện bài toán.
Giải chi tiết:
Giả sử \(n^2 + 2026 = k^2\) với \(k\) là số nguyên dương (\(k > n\)).
\(\implies k^{2}-n^{2}=2026\implies (k-n)(k+n)=2026\)
Nhận xét về tính chẵn lẻ: Hiệu của hai thừa số là \((k + n) - (k - n) = 2n\) (là một số chẵn).
Do đó, \((k - n)\) và \((k + n)\) phải có cùng tính chẵn lẻ:
Nếu cùng lẻ, tích của chúng là số lẻ (mâu thuẫn vì 2026 là số chẵn).
Nếu cùng chẵn, tích của chúng phải chia hết cho 4.

Tuy nhiên, ta có \(2026 = 4 \times 506 + 2\), nghĩa là \(2026\) không chia hết cho 4. Vì vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Câu 2: Giải phương trình \(\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5\)
Tập nghiệm của phương trình là \(X = \{0; 5\}\).
Giải chi tiết:
Biến đổi phương trình dưới dạng trị tuyệt đối:
\(\sqrt{(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}}=5\implies |{}x-2|{}+|{}x-3|{}=5\)
Ta xét 3 khoảng giá trị của \(x\):
Khoảng 1 (\(x < 2\)): Phương trình trở thành:
\(-(x-2)-(x-3)=5\implies -2x+5=5\implies x=0\quad (\text{Thỏa mãn }x<2)\)
Khoảng 2 (\(2 \le x \le 3\)): Phương trình trở thành:
\((x-2)-(x-3)=5\implies 1=5\quad (\text{Vô lý})\)
Khoảng 3 (\(x > 3\)): Phương trình trở thành:
\((x-2)+(x-3)=5\implies 2x-5=5\implies 2x=10\implies x=5\quad (\text{Thỏa mãn }x>3)\)