Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có BM⊥AC, CN⊥AB, với M∈AC, N∈AB.

a) Chứng minh BCMN nội tiếp
Vì M∈AC và BM⊥AC nên

∠BMC=90^∘.

Vì N∈AB và CN⊥AB nên

∠BNC=90^∘.

Do đó

∠BMC+∠BNC=180^∘.

Suy ra tứ giác BCMN nội tiếp.

b) Chứng minh DB⋅DC=DN⋅DM
Hai đường thẳng DBC và DMN cắt nhau tại D, đồng thời B,C,M,N cùng thuộc đường tròn qua câu a.

Theo định lý hai cát tuyến cắt nhau ngoài đường tròn:

DB⋅DC=DM⋅DN.

Vậy điều phải chứng minh.

c) Chứng minh ∠DGN=∠DMA
Vì A,G,D thẳng hàng và B,C,D thẳng hàng, A,B,C,G cùng thuộc đường tròn (O), nên theo định lý hai cát tuyến xuất phát từ D:

DA⋅DG=DB⋅DC.(1)

Theo câu b:

DB⋅DC=DM⋅DN.(2)

Từ (1) và (2):

DA⋅DG=DM⋅DN.

Mà A,G,D thẳng hàng và M,N,D thẳng hàng, nên theo định lý đảo của định lý hai cát tuyến, suy ra:

A,G,M,N cùng nằm trên một đường tròn.

Do đó, trong tứ giác nội tiếp AGMN:

∠AGN+∠AMN=180^∘.

Mặt khác, D,G,A thẳng hàng nên:

∠DGN=180∘−∠AGN.

Suy ra:

∠DGN=∠AMN.

Lại có D,M,N thẳng hàng nên

∠AMN=∠DMA.

Vậy

∠DGN=∠DMA

Kết luận
a)B,C,M,N cùng thuộc một đường tròn;

b)DB⋅DC=DN⋅DM;

c)∠DGN=∠DMA.

...Xem thêm

Answer 2