Để tính bán kính và thể tích của hình cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều $S.ABC$, ta thực hiện các bước tính toán chi tiết dưới đây:

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$ $\Rightarrow SO \perp (ABC)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, $AM \perp BC$ và $SM \perp BC$.

Góc giữa mặt bên $(SBC)$ và mặt đáy $(ABC)$ là $\widehat{SMO} = 60^\circ$.
$AM$ là đường cao của tam giác đều cạnh $a \Rightarrow AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$O$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow OM = \frac{1}{3}AM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Xét tam giác vuông $SOM$ tại $O$:

$SO = OM \cdot \tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \frac{a}{2}$.
$SM = \frac{OM}{\cos 60^\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
1. Tính bán kính $R$ của hình cầu
Bán kính $R$ của hình cầu nội tiếp hình chóp được tính theo công thức liên hệ giữa thể tích $V_{S.ABC}$ và diện tích toàn phần $S_{tp}$:

$R = \frac{3 \cdot V_{S.ABC}}{S_{tp}}$
Tính diện tích đáy $S_{đáy}$:

$S_{đáy} = S_{\Delta ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$:

$S_{xq} = 3 \cdot S_{\Delta SBC} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$
Tính diện tích toàn phần $S_{tp}$:

$S_{tp} = S_{đáy} + S_{xq} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$
Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$:

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$
Suy ra bán kính $R$:

$R = \frac{3 \cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{24}}{\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{6}$
2. Tính thể tích $V$ của hình cầu
Thể tích khối cầu nội tiếp là:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{6}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3}{216} = \frac{\pi a^3}{162}$
Kết quả:

Bán kính hình cầu: $R = \frac{a}{6}$
Thể tích hình cầu: $V = \frac{\pi a^3}{162}$