Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần:

---

### a) Chứng minh \(4^{2021} + 4^{2022} + 4^{2023} + 4^{2024}\) chia hết cho 5

- Ta xét dãy số \(4^n \pmod{5}\).
- Tính các giá trị lặp lại của \(4^n \pmod{5}\):

\[
4^1 \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}
\]
\[
4^3 = 4^2 \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod{5}
\]
\[
4^4 = 4^3 \cdot 4 \equiv 4 \cdot 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}
\]

- Ta thấy chu kỳ lặp lại 2: \(4^{odd} \equiv 4 \pmod{5}\), \(4^{even} \equiv 1 \pmod{5}\).

- Xét các số mũ:

\[
2021 \text{ lẻ} \Rightarrow 4^{2021} \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
2022 \text{ chẵn} \Rightarrow 4^{2022} \equiv 1 \pmod{5}
\]
\[
2023 \text{ lẻ} \Rightarrow 4^{2023} \equiv 4 \pmod{5}
\]
\[
2024 \text{ chẵn} \Rightarrow 4^{2024} \equiv 1 \pmod{5}
\]

- Tổng lại:

\[
4 + 1 + 4 + 1 = 10 \equiv 0 \pmod{5}
\]

- Vậy tổng chia hết cho 5.

---

### b) Chứng minh \(2^{100} + 2^{101} + 2^{102} + 2^{103}\) chia hết cho 3

- Ta xét dãy số \(2^n \pmod{3}\).

- Tính các giá trị lặp lại của \(2^n \pmod{3}\):

\[
2^1 = 2 \equiv 2 \pmod{3}
\]
\[
2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}
\]
\[
2^3 = 2^2 \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod{3}
\]
\[
2^4 = 2^3 \cdot 2 \equiv 2 \cdot 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}
\]

- Chu kỳ lặp lại 2: \(2^{odd} \equiv 2 \pmod{3}\), \(2^{even} \equiv 1 \pmod{3}\).

- Xét các số mũ:

\[
100 \text{ chẵn} \Rightarrow 2^{100} \equiv 1 \pmod{3}
\]
\[
101 \text{ lẻ} \Rightarrow 2^{101} \equiv 2 \pmod{3}
\]
\[
102 \text{ chẵn} \Rightarrow 2^{102} \equiv 1 \pmod{3}
\]
\[
103 \text{ lẻ} \Rightarrow 2^{103} \equiv 2 \pmod{3}
\]

- Tổng lại:

\[
1 + 2 + 1 + 2 = 6 \equiv 0 \pmod{3}
\]

- Vậy tổng chia hết cho 3.

---

### **Kết luận:**

- a) \(4^{2021} + 4^{2022} + 4^{2023} + 4^{2024}\) chia hết cho 5.
- b) \(2^{100} + 2^{101} + 2^{102} + 2^{103}\) chia hết cho 3.