Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta cần tìm mmm để phương trình

(x2+4x+3)x=m(x^2+4x+3)\sqrt{x}=m(x2+4x+3)x=mcó đúng hai nghiệm phân biệt.

Đặt

f(x)=(x2+4x+3)x,x≥0.f(x)=(x^2+4x+3)\sqrt{x},\qquad x\ge0.f(x)=(x2+4x+3)x,x≥0.Ta xét sự biến thiên của f(x)f(x)f(x).

Đạo hàm:

f(x)=(x+1)(x+3)x,f′(x)=(2x+4)x+x2+4x+32x=4x(x+2)+x2+4x+32x=5x2+12x+32x.\begin{aligned} f(x)&=(x+1)(x+3)\sqrt{x},\\ f'(x) &=(2x+4)\sqrt{x}+\frac{x^2+4x+3}{2\sqrt{x}}\\ &=\frac{4x(x+2)+x^2+4x+3}{2\sqrt{x}}\\ &=\frac{5x^2+12x+3}{2\sqrt{x}}. \end{aligned}f(x)f′(x)=(x+1)(x+3)x,=(2x+4)x+2xx2+4x+3=2x4x(x+2)+x2+4x+3=2x5x2+12x+3.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac
x=0±162≈−2, 2x=\frac{0\pm\sqrt{16}}{2}\approx-2,\ 2x=20±16≈−2, 2
aaa

aaa
bbb

bbb
ccc

ccc

Với x>0x>0x>0,

2x>02\sqrt{x}>02x>0.
Xét tử số:
5x2+12x+3.5x^2+12x+3.5x2+12x+3.Ta có

Δ=122−4⋅5⋅3=84.\Delta=12^2-4\cdot5\cdot3=84.Δ=122−4⋅5⋅3=84.Hai nghiệm của tử số là

x=−6±215<0.x=\frac{-6\pm\sqrt{21}}5<0.x=5−6±21<0.Do đó với mọi x≥0x\ge0x≥0,

5x2+12x+3>0.5x^2+12x+3>0.5x2+12x+3>0.Suy ra

f′(x)>0(x>0).f'(x)>0\qquad(x>0).f′(x)>0(x>0).Vậy f(x)f(x)f(x) đồng biến trên [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞).

Lại có

f(0)=0,lim⁡x→+∞f(x)=+∞.f(0)=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.f(0)=0,x→+∞limf(x)=+∞.Nên:

m<0m<0m<0: vô nghiệm.
m=0m=0m=0: có đúng 1 nghiệm x=0x=0x=0.
m>0m>0m>0: có đúng 1 nghiệm.
Không có giá trị nào của mmm để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Kết luận
Khoˆng toˆˋn tại m∈R để phương trıˋnh coˊ đuˊng hai nghiệm phaˆn biệt.\boxed{\text{Không tồn tại }m\in\mathbb{R}\text{ để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.}}Khoˆng toˆˋn tại m∈R để phương trıˋnh coˊ đuˊng hai nghiệm phaˆn biệt.

...Xem thêm

Answer 2