Bác Bình có mảnh vườn hình vuông ABCD có cạnh bằng 10 m. ở bốn góc Vườn Bác Bình muốn trồng hoa thành các hình tam giác vuông bằng nhau Hãy tính khoảng cách từ góc vườn A đến vị trí E sao Cho tứ Giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Ngọc Vũ Hỏi từ APP VIETJACK

· 3 ngày trước

Trả Lời (+5 điểm)

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

3 câu trả lời 55

$\Tiny\color{blue}{ ꧁ ঔ ৣ ☬muahehehe4✞ ☬ ৣ ঔ ꧂}$

2 ngày trước

Để chu vi tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất, khoảng cách từ góc vườn $A$ đến vị trí $E$ phải bằng 5 m (tức là $E$ là trung điểm của cạnh $AB$).
Lời giải chi tiết
Bước 1: Thiết lập công thức tính cạnh của tứ giác $EFGH$

Gọi độ dài đoạn $AE = x$ (m) với $0 < x < 10$.
Vì bốn tam giác vuông ở bốn góc bằng nhau và xếp liên tiếp quanh hình vuông, nếu $AE = x$ thì đoạn $AH$ phải bằng $10 - x$ (hoặc ngược lại).
Khi đó, bốn tam giác vuông tại 4 đỉnh là $\triangle AHE, \triangle BEF, \triangle CFG, \triangle DGH$ sẽ bằng nhau từng đôi một, với các cạnh góc vuông lần lượt là $x$ và $10 - x$.

Bước 2: Tính chu vi tứ giác $EFGH$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $AHE$, ta có độ dài cạnh $HE$:
$HE = \sqrt{AE^2 + AH^2} = \sqrt{x^2 + (10 - x)^2}$
Vì bốn tam giác vuông bằng nhau nên bốn cạnh của tứ giác $EFGH$ bằng nhau ($HE = EF = FG = GH$). Do đó, $EFGH$ là hình thoi.
Chu vi của tứ giác $EFGH$ là:
$C = 4 \times HE = 4\sqrt{x^2 + (10 - x)^2}$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của chu vi
Để chu vi $C$ nhỏ nhất thì biểu thức trong căn $f(x) = x^2 + (10 - x)^2$ phải đạt giá trị nhỏ nhất. Ta biến đổi biểu thức này như sau:
$f(x) = x^2 + 100 - 20x + x^2 = 2x^2 - 20x + 100$$
$f(x) = 2(x^2 - 10x + 25) + 50 = 2(x - 5)^2 + 50
Vì $(x - 5)^2 \ge 0$ với mọi $x$, nên:
$f(x) \ge 50$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$x - 5 = 0 \iff x = 5\text{ (thỏa mãn điều kiện)}$
$$\Huge{Kết\ luận}$$
Khi $x = 5$ m, chu vi tứ giác $EFGH$ đạt giá trị nhỏ nhất là $4\sqrt{50} = 20\sqrt{2} \approx 28.28$ m. Vậy bác Bình cần đặt vị trí $E$ cách góc vườn $A$ một khoảng là 5 m.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Min Ni

3 ngày trước

Khoảng cách từ góc vườn $A$ đến vị trí $E$ để chu vi tứ giác $EFGH$ nhỏ nhất là $5\text{ m}$ (khi đó $E$ là trung điểm của cạnh $AB$).

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

anh zai nek

3 ngày trước

1. Xác định biến số
Gọi độ dài đoạn $AE = x$ (đơn vị: mét, điều kiện: $0 < x < 10$).
Do bốn tam giác vuông tại bốn góc bằng nhau, ta có:
$AE = BF = CG = DH = x$
$AH = BE = CF = DG = 10 - x$

2. Thiết lập công thức chu vi
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $AHE$, ta tính được cạnh $HE$:
$HE=\sqrt{AE^{2}+AH^{2}}=\sqrt{x^{2}+(10-x)^{2}}$
Vì bốn tam giác ở góc bằng nhau nên tứ giác $EFGH$ có bốn cạnh bằng nhau ($HE = EF = FG = GH$). Chu vi $P$ của tứ giác $EFGH$ là:
$P=4\times \sqrt{x^{2}+(10-x)^{2}}$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất
Ta Biến đổi biểu thức trong căn:
$x^{2}+(10-x)^{2}=x^{2}+100-20x+x^{2}=2x^{2}-20x+100$
$2x^{2}-20x+100=2(x^{2}-10x+25)+50=2(x-5)^{2}+50$
Vì $2(x - 5)^2 \ge 0$ với mọi $x$, nên:
$2x^{2}-20x+100\ge 50$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$x-5=0\implies x=5$
Khi đó, chu vi nhỏ nhất của tứ giác đạt được tại $x = 5\text{ m}$.

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời