Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn vẽ hình cho bài toán hình học diện tích lớp 5 này:
I. Hướng dẫn vẽ hình
Bước 1: Vẽ tam giác $ABC$ bất kỳ (nên vẽ cạnh đáy $BC$ nằm ngang, đỉnh $A$ ở trên).
Bước 2: Xác định điểm $H$ là trung điểm của cạnh $AC$ (vì bài cho $AH = HC$).
Bước 3: Chia cạnh $BC$ thành 3 phần bằng nhau. Lấy điểm $I$ sao cho đoạn $BI$ chiếm 1 phần, đoạn $IC$ chiếm 2 phần (thỏa mãn $BI = \frac{1}{2}IC$).
Bước 4: Nối hai điểm $A$ với $I$. Kéo dài đoạn thẳng $AI$ về phía điểm $I$.
Bước 5: Trên đoạn thẳng kéo dài đó, lấy điểm $D$ sao cho đoạn $ID$ bằng một nửa đoạn $IA$ ($ID = \frac{1}{2}IA$).
Bước 6: Nối các điểm $I$ với $H$, $H$ với $D$ để tạo thành tam giác $IHD$ cần tính diện tích.

II. Lời giải chi tiết
Để tính diện tích tam giác $IHD$ ($S_{IHD}$), chúng ta sẽ tính qua các bước trung gian dựa vào phương pháp so sánh diện tích tam giác có cùng chiều cao hoặc cùng đáy.
Bước 1: Tính diện tích tam giác $AIC$ ($S_{AIC}$)
Xét hai tam giác $AIC$ và $ABC$:
Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh đáy $BC$.
Tỉ số hai cạnh đáy tương ứng là: Do $BI = \frac{1}{2}IC$ nên cạnh $BC = BI + IC = \frac{1}{2}IC + IC = \frac{3}{2}IC$, suy ra $IC = \frac{2}{3}BC$.
Do đó, diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{2}{3}$ diện tích tam giác $ABC$:
$S_{AIC} = \frac{2}{3} \times S_{ABC} = \frac{2}{3} \times 30 = 20 \text{ (cm}^2\text{)}$
Bước 2: Tính diện tích tam giác $IHC$ ($S_{IHC}$)
Xét hai tam giác $IHC$ và $AIC$:
Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ đỉnh $I$ xuống cạnh đáy $AC$.
Cạnh đáy $HC = \frac{1}{2}AC$ (vì $H$ là trung điểm của $AC$).
Do đó, diện tích tam giác $IHC$ bằng một nửa diện tích tam giác $AIC$:
$S_{IHC} = \frac{1}{2} \times S_{AIC} = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \text{ (cm}^2\text{)}$
Bước 3: Tính diện tích tam giác $IHA$ ($S_{IHA}$)
Tương tự, vì $H$ là trung điểm của $AC$ nên $AH = HC = \frac{1}{2}AC$.
Tam giác $IHA$ và tam giác $IHC$ có chung chiều cao hạ từ $I$ xuống đáy $AC$ và có hai đáy bằng nhau ($AH = HC$).
Do đó, diện tích hai tam giác này bằng nhau:
$S_{IHA} = S_{IHC} = 10 \text{ (cm}^2\text{)}$
Bước 4: Tính diện tích tam giác $IHD$ ($S_{IHD}$)
Xét hai tam giác $IHD$ và $IHA$:
Nếu coi $IA$ và $ID$ là hai cạnh đáy nằm trên cùng một đường thẳng $AD$, thì hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ đỉnh $H$ xuống đường thẳng $AD$.
Theo đề bài, độ dài đáy $ID = \frac{1}{2}IA$.
Do đó, diện tích tam giác $IHD$ bằng một nửa diện tích tam giác $IHA$:
$S_{IHD} = \frac{1}{2} \times S_{IHA} = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ (cm}^2\text{)}$
Đáp số: $S_{IHD} = 5 \text{ cm}^2$

diện tích tam giác \(IHD\) là \(5\text{ cm}^2\).

Dưới đây là các bước giải chi tiết dựa trên phương pháp tỉ số diện tích hình tam giác:

1. Tính diện tích tam giác \(AIC\)
Do điểm \(I\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BI = \frac{1}{2} IC\), suy ra đoạn \(IC\) chiếm \(\frac{2}{3}\) độ dài cạnh \(BC\).
Xét hai tam giác \(AIC\) và \(ABC\):Chung đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh đáy \(BC\).
Đáy \(IC = \frac{2}{3} BC\).

Do đó, diện tích tam giác \(AIC\) bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích tam giác \(ABC\):
\(S_{AIC}=\frac{2}{3}\times S_{ABC}=\frac{2}{3}\times 30=20\text{\ cm}^{2}\)

2. Tính diện tích tam giác \(AIH\)
Điểm \(H\) nằm trên cạnh \(AC\) sao cho \(AH = HC\), nghĩa là \(H\) là trung điểm của cạnh \(AC\) hay \(AH = \frac{1}{2} AC\).
Xét hai tam giác \(AIH\) yard \(AIC\):Chung đường cao hạ từ đỉnh \(I\) xuống cạnh đáy \(AC\).
Đáy \(AH = \frac{1}{2} AC\).

Do đó, diện tích tam giác \(AIH\) bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác \(AIC\):
\(S_{AIH}=\frac{1}{2}\times S_{AIC}=\frac{1}{2}\times 20=10\text{\ cm}^{2}\)

3. Tính diện tích tam giác \(IHD\)
Điểm \(D\) nằm trên đường kéo dài của \(AI\) về phía \(I\) sao cho \(ID = \frac{1}{2} IA\).
Xét hai tam giác \(IHD\) và \(AIH\):Chung đường cao hạ từ đỉnh \(H\) xuống đường thẳng \(AD\).
Đáy \(ID = \frac{1}{2} IA\).

Do đó, diện tích tam giác \(IHD\) bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác \(AIH\):
\(S_{IHD}=\frac{1}{2}\times S_{AIH}=\frac{1}{2}\times 10=5\text{\ cm}^{2}\)

✅ Kết luận
Diện tích của tam giác \(IHD\) là \(5\text{ cm}^2\).