Kết quả của bài toán là: Kim loại \(M\) là Đồng (\(\text{Cu}\)); khối lượng kim loại đồng đã tham gia phản ứng ở câu b là \(12,8\text{ g}\) và khối lượng thanh kim loại còn lại sau phản ứng là \(7,2\text{ g}\).

1. Xác định kim loại M
Phương trình hóa học của phản ứng xảy ra ở thanh thứ nhất:
\(M+2\text{AgNO}_{3}\rightarrow M(\text{NO}_{3})_{2}+2\text{Ag}\downarrow \)
Số mol \(\text{AgNO}_{3}\) ban đầu:
\(n_{\text{AgNO}_{3}\text{\ bđ}}=0,1\times 0,3=0,03\text{\ (mol)}\)
Số mol \(\text{AgNO}_{3}\) dư sau phản ứng:
\(n_{\text{AgNO}_{3}\text{\ d}}=0,1\times 0,1=0,01\text{\ (mol)}\)
Số mol \(\text{AgNO}_{3}\) đã tham gia phản ứng:
\(\Delta n_{\text{AgNO}_{3}}=0,03-0,01=0,02\text{\ (mol)}\)

Theo phương trình hóa học, ta có số mol của \(M\) phản ứng và \(\text{Ag}\) sinh ra bám vào thanh kim loại:
\(n_{M}=\frac{1}{2}n_{\text{AgNO}_{3}}=0,01\text{\ (mol)}\)
\(n_{\text{Ag}}=n_{\text{AgNO}_{3}}=0,02\text{\ (mol)}\)
Độ tăng khối lượng của thanh kim loại được tính như sau:
\(\Delta m=m_{\text{thanh\ sau}}-m_{\text{thanh\ bđ}}=21,52-20=1,52\text{\ (g)}\)
Mặt khác, độ tăng khối lượng này bằng khối lượng bạc bám vào trừ đi khối lượng kim loại \(M\) đã tan ra:
\(\Delta m=m_{\text{Ag}}-m_{M}\)
\(1,52=0,02\times 108-0,01\times M\)
\(1,52=2,16-0,01\times M\)
\(0,01\times M=0,64\Rightarrow M=64\text{\ (g/mol)}\)
Vậy kim loại \(M\) cần tìm là Đồng (\(\text{Cu}\)).

2. Tính số mol phản ứng b
Thanh thứ hai bằng đồng (\(\text{Cu}\)) được nhúng vào dung dịch \(\text{FeCl}_{3}\). Phương trình hóa học của phản ứng xảy ra là:
\(\text{Cu}+2\text{FeCl}_{3}\rightarrow \text{CuCl}_{2}+2\text{FeCl}_{2}\)
Khối lượng chất tan \(\text{FeCl}_{3}\) ban đầu có trong dung dịch:
\(m_{\text{FeCl}_{3}\text{\ bđ}}=460\times 20\%=92\text{\ (g)}\)

Gọi \(x\) là số mol của \(\text{Cu}\) đã tham gia phản ứng (\(x > 0\)). Theo phương trình hóa học:
Số mol \(\text{FeCl}_{3}\) phản ứng là \(2x \text{ mol} \Rightarrow m_{\text{FeCl}_3 \text{ pư}} = 2x \times 162,5 = 325x \text{ (g)}\).
Số mol \(\text{CuCl}_{2}\) tạo thành là \(x \text{ mol} \Rightarrow m_{\text{CuCl}_2} = 135x \text{ (g)}\).

Khối lượng \(\text{FeCl}_{3}\) còn lại sau phản ứng là:
\(m_{\text{FeCl}_{3}\text{\ d}}=92-325x\text{\ (g)}\)
Do các chất cùng nằm trong một dung dịch sau phản ứng nên khi nồng độ phần trăm bằng nhau (\(C\%_{\text{CuCl}_2} = C\%_{\text{FeCl}_3 \text{ dư}}\)), khối lượng chất tan của chúng cũng phải bằng nhau:
\(m_{\text{CuCl}_{2}}=m_{\text{FeCl}_{3}\text{\ d}}\)
\(135x=92-325x\)
\(460x=92\Rightarrow x=0,2\text{\ (mol)}\)

3. Tính khối lượng kim loại
Từ số mol \(x = 0,2 \text{ mol}\), ta tính được các giá trị khối lượng liên quan đến kim loại đồng:
Khối lượng kim loại đồng (\(\text{Cu}\)) đã tham gia phản ứng:
\(m_{\text{Cu\ p}}=0,2\times 64=12,8\text{\ (g)}\)
Do phản ứng này không sinh ra kim loại mới bám vào thanh (sản phẩm đều là muối tan vào dung dịch), khối lượng thanh kim loại còn lại sau phản ứng là:
\(m_{\text{thanh\ còn\ li}}=20-12,8=7,2\text{\ (g)}\)

 Xác định kết quả
Kim loại \(M\) được xác định là Đồng (\(\text{Cu}\)). Khối lượng kim loại đồng đã phản ứng hòa tan ở câu b là \(12,8\text{ gam}\) và khối lượng của thanh kim loại còn lại sau khi lấy ra khỏi dung dịch là \(7,2\text{ gam}\).