S = $\frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + ... + \frac{99}{3^{99}} - \frac{100}{3^{100}}$

$\frac{1}{3}$S = $\frac{1}{3^2} - \frac{2}{3^3} + \frac{3}{3^4} - \frac{4}{3^5} + ... + \frac{99}{3^{100}} - \frac{100}{3^{101}}$

S + $\frac{1}{3}$S = $\frac{1}{3} +\left(\frac{-2}{3^2} + \frac{1}{3^2}\right) + \left(\frac{3}{3^3} - \frac{2}{3^3}\right) + ... + \left(\frac{-100}{3^{100}} + \frac{99}{3^{100}}\right) - \frac{100}{3^{101}}$

$\frac{4}{3}$S = $\frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} - ... - \frac{1}{3^{100}} - \frac{100}{3^{101}}$

Đặt A = $\frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} - ... - \frac{1}{3^{100}}$

3A = $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - ... - \frac{1}{3^{99}}$

3A + A =  1 - $\frac{1}{3^{100}}$

4A = 1 - $\frac{1}{3^{100}}$

=> A = $\frac{1}{4} - \frac{1}{4.3^{100}}$

=> $\frac{4}{3}$S = $\frac{1}{4} - \frac{1}{4.3^{100}} - \frac{100}{3^{101}}$

S = $\frac{3}{16} - \frac{3}{16.3^{100}} - \frac{300}{16.3^{101}}$

S = $\frac{3}{16} - \left(\frac{3}{16.3^{100}} + \frac{300}{16.3^{101}}\right)$ < $\frac{3}{16}$ < $\frac{1}{5}$

Vậy S < $\frac{1}{5}$

Giải chi tiết bài toán
Cho $S = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^4} + \dots + \frac{99}{3^{99}} - \frac{100}{3^{100}}$

Bước 1: Nhân cả hai vế với 3

$3S = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} - \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{99}{3^{98}} - \frac{100}{3^{99}}$
Bước 2: Cộng $3S$ với $S$

Ta lấy vế theo vế của $3S$ cộng với $S$:

$4S = 3S + S = \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} - \dots - \frac{100}{3^{99}} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} - \dots - \frac{100}{3^{100}} \right)$
Nhóm các số hạng có cùng mẫu số:

$4S = 1 + \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2} \right) + \left( \frac{3}{3^3} - \frac{4}{3^3} \right) + \dots + \left( \frac{99}{3^{99}} - \frac{100}{3^{99}} \right) - \frac{100}{3^{100}}$
$4S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{3^3} + \dots - \frac{1}{3^{99}} - \frac{100}{3^{100}}$
Bước 3: Tính tổng phụ $A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} - \dots - \frac{1}{3^{99}}$

Tương tự, ta nhân $3A$:

$3A = 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3^2} + \dots - \frac{1}{3^{98}}$
Cộng $3A$ với $A$:

$4A = 3 + \left( - \frac{1}{3^{99}} \right) = 3 - \frac{1}{3^{99}}$
$\Rightarrow A = \frac{3}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{99}}$
Bước 4: Thay ngược lại vào $4S$

$4S = A - \frac{100}{3^{100}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4 \cdot 3^{99}} - \frac{100}{3^{100}}$
Do $\frac{1}{4 \cdot 3^{99}} + \frac{100}{3^{100}} > 0$, nên ta suy ra:

$4S < \frac{3}{4}$
$S < \frac{3}{16}$
Bước 5: So sánh với $\frac{1}{5}$

Ta có:

$S < \frac{3}{16}$
So sánh $\frac{3}{16}$ và $\frac{1}{5}$:

$\frac{3}{16} = \frac{15}{80}$
$\frac{1}{5} = \frac{16}{80}$

Vì $15 < 16$ nên $\frac{3}{16} < \frac{1}{5}$.
Kết luận:

Vậy $S < \frac{1}{5}$.