Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A, có AD là tia phân giác ∠BAC

$$\begin{gathered} Lấy E trên tia AC sao cho: \\ AE=AB \\ Xét tam giác AEB: \\ AE=AB\Rightarrow △AEB caˆn tại A \\ \Rightarrow \angle ABE=\angle BEA \\ Xét AD là tia phân giác: \\ \angle BAD=\angle DAC \\ Suy ra: \\ \angle ADF=\angle ACF \\ Xét tam giác AFC: \\ \angle AFC=\angle ACF \\ \Rightarrow AF=AC \\ Vậy: △AFC caˆn tại A \end{gathered}$$

Giải bài toán: Chứng minh tam giác AFC cân
1. Phân tích đề bài và Hình vẽ
Cho: $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$), $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$.
Lấy: $E$ trên $AC$ sao cho $AE = AB$.
Kéo dài: $ED$ cắt $AB$ tại $F$.
Cần chứng minh: $\triangle AFC$ cân.

2. Các bước chứng minh chi tiết
Bước 1: Chứng minh $\triangle ABD = \triangle AED$

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AED$ có:

$AB = AE$ (theo giả thiết).
$\widehat{BAD} = \widehat{EAD}$ (vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$).
$AD$ là cạnh chung.

$\implies \triangle ABD = \triangle AED$ (cạnh - góc - cạnh).
Bước 2: Suy ra các yếu tố bằng nhau tương ứng

Từ $\triangle ABD = \triangle AED$, ta có:

$DB = DE$ (hai cạnh tương ứng).
$\widehat{ABD} = \widehat{AED}$ (hai góc tương ứng).
Bước 3: Chứng minh $\triangle DBF = \triangle DEC$

Ta có $\widehat{ABD} = 90^\circ$ (vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$). Suy ra góc kề bù $\widehat{DBF} = 90^\circ$.
Tương tự, $\widehat{AED} = 90^\circ$. Suy ra góc kề bù $\widehat{DEC} = 90^\circ$.

Xét $\triangle DBF$ và $\triangle DEC$ có:
$\widehat{DBF} = \widehat{DEC} = 90^\circ$.
$DB = DE$ (chứng minh ở bước 2).
$\widehat{BDF} = \widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh).

$\implies \triangle DBF = \triangle DEC$ (góc - cạnh - góc).
Bước 4: Kết luận tam giác AFC cân

Từ $\triangle DBF = \triangle DEC$, ta suy ra: $BF = EC$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có:

$AF = AB + BF$
$AC = AE + EC$

Mà $AB = AE$ (giả thiết) và $BF = EC$ (chứng minh trên).

$\implies AF = AC$.
Xét $\triangle AFC$ có $AF = AC$, vậy $\triangle AFC$ cân tại $A$. (Điều phải chứng minh)

Giải bài toán: Chứng minh tam giác AFC cân
1. Phân tích đề bài và Hình vẽ
Cho: △ABC vuông tại A (AB<AC), AD là phân giác ˆBAC.
Lấy: E trên AC sao cho AE=AB.
Kéo dài: ED cắt AB tại F.
Cần chứng minh: △AFC cân.

2. Các bước chứng minh chi tiết
Bước 1: Chứng minh △ABD=△AED

Xét △ABD và △AED có:

AB=AE (theo giả thiết).
ˆBAD=ˆEAD (vì AD là tia phân giác của ˆBAC).
AD là cạnh chung.

⟹△ABD=△AED (cạnh - góc - cạnh).
Bước 2: Suy ra các yếu tố bằng nhau tương ứng

Từ △ABD=△AED, ta có:

DB=DE (hai cạnh tương ứng).
ˆABD=ˆAED (hai góc tương ứng).
Bước 3: Chứng minh △DBF=△DEC

Ta có ˆABD=90∘ (vì △ABC vuông tại A). Suy ra góc kề bù ˆDBF=90∘.
Tương tự, ˆAED=90∘. Suy ra góc kề bù ˆDEC=90∘.

Xét △DBF và △DEC có:
ˆDBF=ˆDEC=90∘.
DB=DE (chứng minh ở bước 2).
ˆBDF=ˆEDC (hai góc đối đỉnh).

⟹△DBF=△DEC (góc - cạnh - góc).
Bước 4: Kết luận tam giác AFC cân

Từ △DBF=△DEC, ta suy ra: BF=EC (hai cạnh tương ứng).

Ta có:

AF=AB+BF
AC=AE+EC

Mà AB=AE (giả thiết) và BF=EC (chứng minh trên).

⟹AF=AC.
Xét △AFC có AF=AC, vậy △AFC cân tại A. (Điều phải chứng minh)