Giải
- Gọi mặt phẳng cần tìm là (P). Vì (P) cắt (chắn) 3 trục toạ độ Ox, Oy, Oz tạo thành các đoạn thẳng nên (P) không đi qua gốc toạ độ O.
- Giả sử (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với a, b, c $\ne 0$
- Phương trình mặt phẳng đoạn chắn của (P) có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
- Vì mặt phẳng đi qua điểm M(4; -4; 1), thay toạ độ M vào phương trình ta được:
$\frac{4}{a}-\frac{4}{b}+\frac{1}{c}=1\mathit{\hspace{1em}}\left(1\right)$
- Độ dài các đoạn thẳng chắn trên 3 trục toạ độ lần lượt là OA = |a|, OB = |b|, OC = |c|.
- Theo đề bài, 3 độ dài này theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội $q=\frac{1}{2}$, nghĩa là:
$OB=OA\cdot \frac{1}{2}\Rightarrow \left|b\right|=\frac{\left|a\right|}{2}\Rightarrow b=\pm \frac{a}{2}$
$OC=OB\cdot \frac{1}{2}\Rightarrow \left|c\right|=\frac{\left|b\right|}{2}=\frac{\left|a\right|}{4}\Rightarrow c=\pm \frac{a}{4}$
- Như vậy, ta có các trường hợp về dấu của b và c so với a. Thay b và c vào phương trình (1), ta xét $2\times 2=4$ trường hợp:
* Trường hợp 1: $b=\frac{a}{2}$ và $c=\frac{a}{4}$
+ Thay vào (1): $\frac{4}{a}-\frac{4}{\frac{a}{2}}+\frac{1}{\frac{a}{4}}=1$
$\iff \frac{4}{a}-\frac{8}{a}+\frac{4}{a}=1\iff \frac{0}{a}=1$ (Vô nghiệm)
* Trường hợp 2: $b=\frac{a}{2}$ và $c=-\frac{a}{4}$
+ Thay vào (1): $\frac{4}{a}-\frac{4}{\frac{a}{2}}+\frac{1}{-\frac{a}{4}}=1$
$\iff \frac{4}{a}-\frac{8}{a}-\frac{4}{a}=1\iff \frac{-8}{a}=1\Rightarrow a=-8$ (Thỏa mãn $a\ne 0$)
(Với a = -8 $\Rightarrow b=-4,c=2$. Ta được 1 mặt phẳng).
Trường hợp 3: b = $-\frac{a}{2}$ và $c=\frac{a}{4}$
+ Thay vào (1): $\frac{4}{a}-\frac{4}{-\frac{a}{2}}+\frac{1}{\frac{a}{4}}=1$
$\iff \frac{4}{a}+\frac{8}{a}+\frac{4}{a}=1\iff \frac{16}{a}=1\Rightarrow a=16$ (Thỏa mãn $a\ne 0$)
(Với a = 16 => b = -8, c = 4. Ta được 1 mặt phẳng).
* Trường hợp 4: b = $-\frac{a}{2}$ và $c=-\frac{a}{4}$
+ Thay vào (1): $\frac{4}{a}-\frac{4}{-\frac{a}{2}}+\frac{1}{-\frac{a}{4}}=1$
$\iff \frac{4}{a}+\frac{8}{a}-\frac{4}{a}=1\iff \frac{8}{a}=1\Rightarrow a=8$ (Thỏa mãn $a\ne 0$)

(Với a = 8 => b = -4, c = -2. Ta được 1 mặt phẳng).
Vậy: Có tất cả 3 mặt phẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.