[ Để tính thể tích V của vật thể này, chúng ta áp dụng công thức tính thể tích vật thể bằng tích phân khi biết diện tích thiết diện: V = ${\int }_a^{b}S\left(x\right)𝑑x$
Trong đó:
a = 0 và b = $\pi$ là giới hạn của vật thể trên trục Ox.
S(x) là diện tích của thiết diện tại hoành độ x. ]
Giải
- Thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh $a=2\sqrt{\sin x}.$
- Công thức diện tích của một tam giác đều cạnh a là: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
- Thay a = $2\sqrt{\sin x}$ vào công thức, ta có: $S\left(x\right)=\frac{{(2\sqrt{\sin x})}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{4\sin x\cdot \sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\sin x$
=> Tích phân tính thể tích V: V = ${\int }_0^{\pi }\sqrt{3}\sin xdx$
=> $V=\sqrt{3}{\int }_0^{\pi }\sin xdx$
[ Sử dụng nguyên hàm của hàm số $\sin x$ là $\cos x$:
=> $V=\sqrt{3}{[-\cos x]}_0^{\pi }$
=> $V=\sqrt{3}[(-\cos \pi )-(-\cos 0)]$
- Thay giá trị lượng giác $\cos \pi =-1$ và cos 0 = 1:
=> $V=\sqrt{3}[-(-1)-(-1)]$
=> V = $\sqrt{3}(1+1)=2\sqrt{3}$
Vậy: Thể tích V của vật thể đã cho là: $V=2\sqrt{3}$ (đơn vị thể tích)