[ Để tính thể tích V của vật thể này, chúng ta sử dụng công thức tính thể tích vật thể bằng tích phân khi biết diện tích thiết diện S(x) cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox.
=> Công thức tổng quát: $V={\int }_a^{b}S\left(x\right)𝑑x$ ]
Giải
- Thiết diện tại hoành độ x là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt là 3x và x².
- Diện tích hình chữ nhật được tính bằng tích của hai cạnh: $S\left(x\right)=(3x)\cdot \left(x^2\right)=3x^3$
- Vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, do đó ta có tích phân: $V={\int }_1^{3}3x^3𝑑x$
- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản ${\int x}^n𝑑x=\frac{x^{n+1}}{n+1}$:
=> $V=3{\left[\frac{x^4}{4}\right]}_1^3$
=> $V=\frac{3}{4}{\left[x^4\right]}_1^3$
- Thay các cận x = 3 và x = 1 vào biểu thức:
=> $V=\frac{3}{4}(3^4-1^4)$
=> $V=\frac{3}{4}(81-1)$
=> $V=\frac{3}{4}\cdot 80$
=> V = 3.20 = 60
Vậy: Thể tích V của vật thể đã cho là: V = 60 (đơn vị thể tích)