Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét: $I = \int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} 𝑑 x$
- Sử dụng hằng đẳng thức (a - b)² = a² - 2ab + b², ta có:
${(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} = \sin^{2} \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2}$
- Áp dụng công thức lượng giác
+ Công thức Pitago: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
+ Công thức nhân đôi: $2 \sin α \cos α = \sin (2 α)$
- Áp dụng vào biểu thức trên với $α = \frac{x}{2} :$
$\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} = 1$
$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin (2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x$
- Vậy biểu thức dưới dấu tích phân trở thành: 1 - sin x
=> $I = \int (1 - \sin x) 𝑑 x$
=> I = $\int 1 𝑑 x - \int \sin x d x$
- Theo bảng nguyên hàm cơ bản:
$\int 1 𝑑 x = x$
$\int \sin x d x = - \cos x$
=> I = $x - (- \cos x) + C$
=> I = x + cos x + C
Vậy: $\int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} 𝑑 x = 𝐱 + \cos 𝐱 + 𝐂$

...Xem thêm

Answer 2

Xét: $I = \int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} 𝑑 x$
- Sử dụng hằng đẳng thức (a - b)² = a² - 2ab + b², ta có:
${(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} = \sin^{2} \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2}$
- Áp dụng công thức lượng giác
+ Công thức Pitago: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$
+ Công thức nhân đôi: $2 \sin α \cos α = \sin (2 α)$
- Áp dụng vào biểu thức trên với $α = \frac{x}{2} :$
$\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} = 1$
$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin (2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x$
- Vậy biểu thức dưới dấu tích phân trở thành: 1 - sin x
=> $I = \int (1 - \sin x) 𝑑 x$
=> I = $\int 1 𝑑 x - \int \sin x d x$
- Theo bảng nguyên hàm cơ bản:
$\int 1 𝑑 x = x$
$\int \sin x d x = - \cos x$
=> I = $x - (- \cos x) + C$
=> I = x + cos x + C
Vậy: $\int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} 𝑑 x = 𝐱 + \cos 𝐱 + 𝐂$

Answer 3

Ta cần tính nguyên hàm:

∫(sin⁡x2−cos⁡x2)2dx\int \left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2 dx∫(sin2x−cos2x)2dx
Bước 1: Khai triển bình phương

(sin⁡x2−cos⁡x2)2=sin⁡2x2+cos⁡2x2−2sin⁡x2cos⁡x2(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2})^2 = \sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}(sin2x−cos2x)2=sin22x+cos22x−2sin2xcos2xDùng hằng đẳng thức:

sin⁡2a+cos⁡2a=1\sin^2 a+\cos^2 a=1sin2a+cos2a=1⇒

=1−2sin⁡x2cos⁡x2=1-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=1−2sin2xcos2x
Bước 2: Dùng công thức lượng giác

2sin⁡acos⁡a=sin⁡2a2\sin a \cos a=\sin 2a2sinacosa=sin2avới a=x2a=\frac{x}{2}a=2x:

2sin⁡x2cos⁡x2=sin⁡x2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin x2sin2xcos2x=sinxDo đó biểu thức trở thành:

1−sin⁡x1-\sin x1−sinx
Bước 3: Tính nguyên hàm

∫(1−sin⁡x) dx=∫1 dx−∫sin⁡x dx\int (1-\sin x)\,dx = \int 1\,dx-\int \sin x\,dx∫(1−sinx)dx=∫1dx−∫sinxdx =x+cos⁡x+C= x+\cos x+C=x+cosx+C
✅ Kết quả:

∫(sin⁡x2−cos⁡x2)2dx=x+cos⁡x+C\boxed{\int \left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2 dx = x+\cos x+C}∫(sin2x−cos2x)2dx=x+cosx+C