Cho hàm vận tốc: v(t) = $t^2-3t+2$ (m/s) trên đoạn [1; 3].
(a) Tìm độ dịch chuyển của vật
Độ dịch chuyển (displacement) được tính bằng tích phân của vận tốc trong khoảng thời gian cho trước. Công thức là:
$∆$s = ${\int }_{t_1}^{t_2}v\left(t\right)𝑑t$
- Áp dụng vào bài toán: $\mathrm{\Delta }s={\int }_1^3(t^2-3t+2)𝑑t$
=> Tính nguyên hàm: $\mathrm{\Delta }s={[\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t]}_1^3$
- Thay số:
+ Tại t = 3: $(\frac{3^3}{3}-\frac{3\cdot 3^2}{2}+2\cdot 3)=(9-13,5+6)=1,5$
+ Tại t = 1: $(\frac{1^3}{3}-\frac{3\cdot 1^2}{2}+2\cdot 1)=(\frac{1}{3}-1,5+2)=\frac{5}{6}\approx 0,833$
=> $∆$s = $1,5-\frac{5}{6}=\frac{3}{2}-\frac{5}{6}=\frac{9-5}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (m)
Vậy: Độ dịch chuyển của vật là $\frac{2}{3}\approx 0,67$ m.
(b) Tìm tổng quãng đường vật đi được
Tổng quãng đường (total distance) là tổng độ dài các đoạn đường vật đã đi, không phân biệt hướng. Công thức là: $S={\int }_{t_1}^{t_2}|v\left(t\right)|𝑑t$
- Để giải quyết trị tuyệt đối, ta cần xem vận tốc có đổi dấu (đổi chiều chuyển động) trong khoảng [1; 3] hay không.
- Xét phương trình v(t) = 0: t² - 3t + 2 = 0 => (t - 1)(t - 2) = 0
- Vật đổi chiều tại thời điểm t = 2 giây (vì 2 nằm trong khoảng [1; 3]).
+ Trên [1; 2]: $v\left(t\right)\le 0$ (vật đi ngược chiều dương).
+ Trên [2; 3]: $v\left(t\right)\ge 0$ (vật đi cùng chiều dương).
- Ta chia tích phân thành hai đoạn:
$S=|{\int }_1^{2}v\left(t\right)𝑑t|+|{\int }_2^{3}v\left(t\right)𝑑t|$
+ Đoạn 1: ${\int }_1^2(t^2-3t+2)𝑑t={[\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t]}_1^2=(\frac{8}{3}-6+4)-\frac{5}{6}=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$
+ Đoạn 2: ${\int }_2^3(t^2-3t+2)𝑑t={[\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t]}_2^3=1,5-\frac{2}{3}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$
=> Tổng quãng đường: $S=|-\frac{1}{6}|+\left|\frac{5}{6}\right|=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$ (m)
Vậy: Tổng quãng đường vật đi được là 1 m.