Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: ΔABC nhọn nội tiếp (O), AD là đường cao, AE là đường kính.
Qua B kẻ BF ⟂ AE tại F.

1) Chứng minh ABDF nội tiếp
Ta có:

AD ⟂ BC (vì AD là đường cao)
⇒ ∠ADB = 90°
BF ⟂ AE mà A, F, E thẳng hàng
⇒ BF ⟂ AF
⇒ ∠AFB = 90°
Vậy:

∠ADB = ∠AFB = 90°

Hai góc này cùng chắn cung AB
⇒ A, B, D, F cùng thuộc một đường tròn

Suy ra ABDF là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh AB · AC = AD · AE
Vì AE là đường kính nên:

∠ABE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ΔABC và ΔADE:

Ta có:

∠A chung
∠ABC = ∠ADE (cùng chắn cung AC)
⇒ ΔABC ∼ ΔADE

Suy ra:

ABAD=AEAC\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC}ADAB=ACAENhân chéo:

AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC = AD \cdot AEAB⋅AC=AD⋅AEĐiều phải chứng minh.

3) Chứng minh DF ∥ EC
Từ câu (1): ABDF nội tiếp
⇒ ∠ADF = ∠ABF (hai góc nội tiếp chắn cung AF)

Mà:

BF ⟂ AE
CE ⟂ AB (vì AE là đường kính)
Suy ra:

∠ABF = ∠ACE

Do đó:

∠ADF = ∠ACE

⇒ DF ∥ EC

(so le trong bằng nhau)

Kết luận:

ABDF là tứ giác nội tiếp
AB·AC = AD·AE
DF ∥ EC

...Xem thêm

Answer 2