Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
1) Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp
- Theo giả thiết, AD là đường cao của $∆$ ABC nên $∆$ ADB = 90 $°$ .
- Lại có BF $⊥$ AE tại F (theo giả thiết) nên $∆$ AFB = 90 $°$ .
- Xét tứ giác ABDF, ta thấy hai đỉnh D và F cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông (90 $°$ ).
=> Tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn đường kính AB (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).
2) Chứng minh AB.AC = AD.AE
- Xét hai tam giác $∆$ ABD và $∆$ AEC:
$\hat{A D B} = \hat{A C E} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AE).
$\hat{A B D} = \hat{A E C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Do đó, $∆$ ABD $\approx$ $∆$ AEC (g.g).
=> $\frac{A B}{A E} = \frac{A D}{A C}$ .
=> AB.AC = AD.AE (đpcm).
3) Chứng minh DF // EC
- Vì tứ giác ABDF nội tiếp (chứng minh ở câu 1), nên $\hat{B D F} = \hat{B A F}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF).
Trong đường tròn (O), ta có $\hat{B A F}$ chính là $\hat{B A E}$ . Mà $\hat{B A E}$ = $\hat{B C E}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE).
=> $\hat{B D F} = \hat{B C E}$ .
- Mà hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng DF và EC bị cắt bởi cát tuyến BC.
=> DF // EC (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
1) Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp
- Theo giả thiết, AD là đường cao của $∆$ ABC nên $∆$ ADB = 90 $°$ .
- Lại có BF $⊥$ AE tại F (theo giả thiết) nên $∆$ AFB = 90 $°$ .
- Xét tứ giác ABDF, ta thấy hai đỉnh D và F cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông (90 $°$ ).
=> Tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn đường kính AB (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).
2) Chứng minh AB.AC = AD.AE
- Xét hai tam giác $∆$ ABD và $∆$ AEC:
$\hat{A D B} = \hat{A C E} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AE).
$\hat{A B D} = \hat{A E C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Do đó, $∆$ ABD $\approx$ $∆$ AEC (g.g).
=> $\frac{A B}{A E} = \frac{A D}{A C}$ .
=> AB.AC = AD.AE (đpcm).
3) Chứng minh DF // EC
- Vì tứ giác ABDF nội tiếp (chứng minh ở câu 1), nên $\hat{B D F} = \hat{B A F}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF).
Trong đường tròn (O), ta có $\hat{B A F}$ chính là $\hat{B A E}$ . Mà $\hat{B A E}$ = $\hat{B C E}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE).
=> $\hat{B D F} = \hat{B C E}$ .
- Mà hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng DF và EC bị cắt bởi cát tuyến BC.
=> DF // EC (đpcm).

Answer 3

Ta có: ΔABC nhọn nội tiếp (O), AD là đường cao, AE là đường kính.
Qua B kẻ BF ⟂ AE tại F.

1) Chứng minh ABDF nội tiếp
Ta có:

AD ⟂ BC (vì AD là đường cao)
⇒ ∠ADB = 90°
BF ⟂ AE mà A, F, E thẳng hàng
⇒ BF ⟂ AF
⇒ ∠AFB = 90°
Vậy:

∠ADB = ∠AFB = 90°

Hai góc này cùng chắn cung AB
⇒ A, B, D, F cùng thuộc một đường tròn

Suy ra ABDF là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh AB · AC = AD · AE
Vì AE là đường kính nên:

∠ABE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ΔABC và ΔADE:

Ta có:

∠A chung
∠ABC = ∠ADE (cùng chắn cung AC)
⇒ ΔABC ∼ ΔADE

Suy ra:

ABAD=AEAC\frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC}ADAB=ACAENhân chéo:

AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC = AD \cdot AEAB⋅AC=AD⋅AEĐiều phải chứng minh.

3) Chứng minh DF ∥ EC
Từ câu (1): ABDF nội tiếp
⇒ ∠ADF = ∠ABF (hai góc nội tiếp chắn cung AF)

Mà:

BF ⟂ AE
CE ⟂ AB (vì AE là đường kính)
Suy ra:

∠ABF = ∠ACE

Do đó:

∠ADF = ∠ACE

⇒ DF ∥ EC

(so le trong bằng nhau)

Kết luận:

ABDF là tứ giác nội tiếp
AB·AC = AD·AE
DF ∥ EC