Bài giải
1. Xác định tỉ số lúc đầu: Tỉ số sách ngăn 1 và ngăn 2 là 9/11. Nghĩa là nếu coi ngăn 1 là 9 phần thì ngăn 2 là 11 phần. Tổng số phần bằng nhau là: 9 + 11 = 20 (phần). Vậy lúc đầu, số sách ngăn 1 chiếm 9/20 tổng số sách của cả hai ngăn.

2. Xác định tỉ số lúc sau (sau khi chuyển 10 cuốn): Lúc này, số sách ngăn 2 bằng 3/11 số sách ngăn 1. Nghĩa là nếu coi ngăn 2 là 3 phần thì ngăn 1 là 11 phần. Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 11 = 14 (phần). Vậy lúc sau, số sách ngăn 1 chiếm 11/14 tổng số sách của cả hai ngăn.

(Lưu ý: Tổng số sách cả hai ngăn không thay đổi khi chuyển sách qua lại).

3. Tìm giá trị của 10 cuốn sách ứng với phân số nào: Khi chuyển 10 cuốn từ ngăn 1 sang ngăn 2, số sách ngăn 1 giảm đi. Hiệu phân số giữa lúc đầu và lúc sau của ngăn 1 là: 9/20 - 11/14 = ...

Khoan đã! Có một sự nhầm lẫn nhỏ ở đề bài bạn đưa ra:

Lúc đầu ngăn 1 là 9 phần, ngăn 2 là 11 phần (ngăn 1 ít hơn ngăn 2).
Nếu chuyển sách từ ngăn 1 sang ngăn 2 thì ngăn 1 phải càng ít hơn nữa.
Nhưng tỉ số lúc sau bạn đưa là "ngăn 2 bằng 3/11 ngăn 1" (nghĩa là ngăn 2 lúc này lại ít hơn ngăn 1 rất nhiều). Điều này vô lý vì ngăn 2 được nhận thêm sách thì phải nhiều lên.
Có thể đề bài đúng phải là: Lúc sau số sách ngăn 1 bằng 3/11 ngăn 2 hoặc một tỉ số khác.

Giả sử đề bài đúng là: "Lúc sau số sách ngăn 1 bằng 1/3 số sách ngăn 2" (Để mình làm mẫu cách giải cho bạn):

Lúc đầu: Ngăn 1 chiếm 9 / (9+11) = 9/20 tổng số sách.
Lúc sau: Ngăn 1 chiếm 1 / (1+3) = 1/4 tổng số sách.
Phân số chỉ 10 cuốn sách là: 9/20 - 1/4 = 9/20 - 5/20 = 4/20 = 1/5 (tổng số sách).
Tổng số sách cả hai ngăn là: 10 : (1/5) = 50 (cuốn).
Số sách ngăn 1 lúc đầu: 50 x (9/20) = 22,5 (Vẫn không ra số nguyên).