Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

- Xét $∆$ SAB có AB = 2a, SA = a, SB = $a \sqrt{3}$ .
- Ta nhận thấy: $S A^{2} + S B^{2} = a^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2} = 4 a^{2} = A B^{2}$ .
Do đó, $∆$ SAB vuông tại S.
- Vì (SAB) $⊥$ (ABCD) và SAB $\cap$ ABCD = AB, nên đường cao SH của $∆$ SAB (với H $\in$ AB) chính là đường cao của hình chóp S.ABCD.
- Trong $∆$ SAB vuông tại S: SH = $\frac{S A \cdot S B}{A B} = \frac{a \cdot a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$
- Đoạn AH = $\frac{S A^{2}}{A B} = \frac{a^{2}}{2 a} = \frac{a}{2} .$
- Chọn hệ trục tọa độ sao cho A trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0).
- Tia Ax trùng với AB, tia Ay trùng với AD, tia Az song song với SH.
- Đơn vị độ dài: lấy a = 1 để tính toán thuận tiện.
=> Tọa độ các điểm:
A(0, 0, 0)
B(2, 0, 0)
D(0, 2, 0)
M là trung điểm AB => M(1, 0, 0).
N là trung điểm BC => N(2, 1, 0).
- Hình chiếu H của S lên AB có AH = $\frac{1}{2}$ => H(0.5, 0, 0).
- Tọa độ S: $x_{S} = x_{H} = 0.5$ , $y_{S} = 0$ , $z_{S} = S H = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Vậy S(0.5, 0, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ).
- Vector chỉ phương của SM: ${\vec{u}}_{S M} = \vec{M} - \vec{S} = (1 - 0.5, 0 - 0, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (0.5, 0, - \frac{\sqrt{3}}{2})$
- Vector chỉ phương của DN: ${\vec{u}}_{D N} = \vec{N} - \vec{D} = (2 - 0, 1 - 2, 0 - 0) = (2, - 1, 0)$
- Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng SM và DN:
$\cos α = \frac{| {\vec{u}}_{S M} \cdot {\vec{u}}_{D N} |}{| {\vec{u}}_{S M} | \cdot | {\vec{u}}_{D N} |}$
=> Tích vô hướng: $| {\vec{u}}_{S M} \cdot {\vec{u}}_{D N} | = | (0.5 \cdot 2) + (0 \cdot - 1) + (- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0) | = 1$
- Độ dài ${\vec{u}}_{S M} = \sqrt{{0.5}^{2} + 0^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1$
- Độ dài ${\vec{u}}_{D N} = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
=> $\cos α = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Vậy: Cos của góc giữa hai đường thẳng SM và DN là $\frac{\sqrt{5}}{5}$

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

- Xét $∆$ SAB có AB = 2a, SA = a, SB = $a \sqrt{3}$ .
- Ta nhận thấy: $S A^{2} + S B^{2} = a^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2} = 4 a^{2} = A B^{2}$ .
Do đó, $∆$ SAB vuông tại S.
- Vì (SAB) $⊥$ (ABCD) và SAB $\cap$ ABCD = AB, nên đường cao SH của $∆$ SAB (với H $\in$ AB) chính là đường cao của hình chóp S.ABCD.
- Trong $∆$ SAB vuông tại S: SH = $\frac{S A \cdot S B}{A B} = \frac{a \cdot a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$
- Đoạn AH = $\frac{S A^{2}}{A B} = \frac{a^{2}}{2 a} = \frac{a}{2} .$
- Chọn hệ trục tọa độ sao cho A trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0).
- Tia Ax trùng với AB, tia Ay trùng với AD, tia Az song song với SH.
- Đơn vị độ dài: lấy a = 1 để tính toán thuận tiện.
=> Tọa độ các điểm:
A(0, 0, 0)
B(2, 0, 0)
D(0, 2, 0)
M là trung điểm AB => M(1, 0, 0).
N là trung điểm BC => N(2, 1, 0).
- Hình chiếu H của S lên AB có AH = $\frac{1}{2}$ => H(0.5, 0, 0).
- Tọa độ S: $x_{S} = x_{H} = 0.5$ , $y_{S} = 0$ , $z_{S} = S H = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Vậy S(0.5, 0, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ).
- Vector chỉ phương của SM: ${\vec{u}}_{S M} = \vec{M} - \vec{S} = (1 - 0.5, 0 - 0, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (0.5, 0, - \frac{\sqrt{3}}{2})$
- Vector chỉ phương của DN: ${\vec{u}}_{D N} = \vec{N} - \vec{D} = (2 - 0, 1 - 2, 0 - 0) = (2, - 1, 0)$
- Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng SM và DN:
$\cos α = \frac{| {\vec{u}}_{S M} \cdot {\vec{u}}_{D N} |}{| {\vec{u}}_{S M} | \cdot | {\vec{u}}_{D N} |}$
=> Tích vô hướng: $| {\vec{u}}_{S M} \cdot {\vec{u}}_{D N} | = | (0.5 \cdot 2) + (0 \cdot - 1) + (- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0) | = 1$
- Độ dài ${\vec{u}}_{S M} = \sqrt{{0.5}^{2} + 0^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{0.25 + 0.75} = 1$
- Độ dài ${\vec{u}}_{D N} = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
=> $\cos α = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Vậy: Cos của góc giữa hai đường thẳng SM và DN là $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 3

- Xét $△$ SAB có: SA²+SB²=AB² (a²+3a²= 4a²)

$\Rightarrow$ $△$ SAB $⊥$ tại S $\to$ SM= $\frac{1}{2}$ AB=a

- Xét $△$ CND $~$ $△$ AHM(g.g) theo tỉ lệ $\frac{2}{1}$ ( $\frac{C D}{A M}$ = $\frac{2 a}{a}$ =2)

$\Rightarrow$ MH=SH( $△$ SAH= $△$ MAH)= $\frac{1}{2}$ DN= $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

- Xét $△$ SHM có: $\cos (S M H)$ = $\frac{S M^{2} + M H^{2} - S H^{2}}{2 \cdot S M \cdot M H}$ = $\frac{a^{2} + \frac{5 a^{2}}{4} - \frac{5 a^{2}}{4}}{2 \cdot \frac{a \sqrt{5}}{2} \cdot a}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$

...Xem thêm

Answer 4

- Xét $△$ SAB có: SA²+SB²=AB² (a²+3a²= 4a²)

$\Rightarrow$ $△$ SAB $⊥$ tại S $\to$ SM= $\frac{1}{2}$ AB=a

- Xét $△$ CND $~$ $△$ AHM(g.g) theo tỉ lệ $\frac{2}{1}$ ( $\frac{C D}{A M}$ = $\frac{2 a}{a}$ =2)

$\Rightarrow$ MH=SH( $△$ SAH= $△$ MAH)= $\frac{1}{2}$ DN= $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

- Xét $△$ SHM có: $\cos (S M H)$ = $\frac{S M^{2} + M H^{2} - S H^{2}}{2 \cdot S M \cdot M H}$ = $\frac{a^{2} + \frac{5 a^{2}}{4} - \frac{5 a^{2}}{4}}{2 \cdot \frac{a \sqrt{5}}{2} \cdot a}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$

2 câu trả lời 101

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12