1. Tìm tổng số các cặp số (a, b)
Số a có 3 chữ số đôi một khác nhau:
Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn (từ 1 đến 9).
Chữ số hàng chục có 9 cách chọn (từ 0 đến 9, trừ số đã chọn).
Chữ số hàng đơn vị có 8 cách chọn.
=> Số lượng số a là: 9 $\times$ 9 $\times$ 8 = 648 (số).
Số b có 4 chữ số đôi một khác nhau:
Chữ số hàng nghìn có 9 cách chọn.
Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn.
Chữ số hàng chục có 8 cách chọn.
Chữ số hàng đơn vị có 7 cách chọn.
=> Số lượng số b là: 9 $\times$ 9 $\times$ 8 $\times$ 7 = 4536 (số).
=> Tổng số cặp (a, b) là: 648 $\times$ 4536.
2. Tìm số trường hợp thỏa mãn: "Trùng nhau nhiều nhất 1 chữ số"
"Nhiều nhất 1" có nghĩa là xảy ra hai trường hợp: Không trùng chữ số nào HOẶC Trùng đúng 1 chữ số. Tuy nhiên, để tính xác suất này một cách chuẩn xác nhất, ta xét tập hợp các chữ số của $a$ (gọi là tập A) và tập các chữ số của b (gọi là tập B).
- Vì yêu cầu tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên, ta có thể tư duy theo cách chọn tập hợp các chữ số trước:
- Trường hợp 1: Không có chữ số nào của a xuất hiện trong b
Số cách chọn 3 chữ số cho a từ tập {0,1,..,9} (có số 0 đứng đầu sẽ tính sau).
Số cách chọn 4 chữ số cho b từ các chữ số còn lại.
- Trường hợp 2: Có đúng 1 chữ số của a xuất hiện trong b
Chọn 1 chữ số chung giữa hai số.
Chọn 2 chữ số còn lại cho a và 3 chữ số còn lại cho b sao cho không trùng nhau nữa.
3. Công thức tính xác suất
- Gọi P là xác suất cần tìm. Trong các bài toán xác suất lớp 6 nâng cao hoặc lớp 9, chúng ta thường dùng công thức: P = $\frac{Số trường hợp thuận lợi}{Tổng số trường hợp}$
- Việc tính toán chi tiết từng con số cụ thể cho tổ hợp chữ số có chứa số 0 ở hàng đầu rất phức tạp.  - Tuy nhiên, nếu xét trên khía cạnh chọn tập hợp chữ số:
Số cách chọn tập A (3 chữ số):$C_{10}^3=120$.
Số cách chọn tập $B$ (4 chữ số): $C_{10}^4$ = 210.
Số cách chọn để $|A\cap B|\le 1$:
+ Trùng 0 số: $C_{10}^3\times C_7^4=120\times 35$ = 4200.
Trùng 1 số: $C_{10}^1\times C_9^2\times C_7^3=10\times 36\times 35$ = 12600.
=> Xác suất xấp xỉ sẽ là: $P\approx \frac{4200+12600}{120\times 210}=\frac{16800}{25200}=\frac{2}{3}$
(Lưu ý: Kết quả này mang tính tương đối vì chưa loại trừ các trường hợp chữ số 0 đứng đầu của số a và b, nhưng đây là hướng tư duy logic nhất cho bài toán này).
Vậy: Xác suất để hai số a và b chỉ trùng nhau nhiều nhất một chữ số là khoảng 2/3 (tương đương 66,7%). Điều này cho thấy khả năng hai số này có ít chữ số chung là khá cao!

$\color{blue}{\text{1. Tính số các số tự nhiên } a \text{ và } b}$
$\color{blue}{\text{**Số } a \text{ (có 3 chữ số đôi một khác nhau):**}}$

$\color{blue}{\text{Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn (từ 1 đến 9).}}$
$\color{blue}{\text{Chữ số hàng chục có 9 cách chọn (từ 0 đến 9, khác chữ số hàng trăm).}}$
$\color{blue}{\text{Chữ số hàng đơn vị có 8 cách chọn.}}$
$\color{blue}{\text{Số lượng số } a \text{ là: } 9 \times 9 \times 8 = 648 \text{ số.}}$
$\color{blue}{\text{**Số } b \text{ (có 4 chữ số đôi một khác nhau):**}}$

$\color{blue}{\text{Chữ số hàng nghìn có 9 cách chọn.}}$
$\color{blue}{\text{Chữ số hàng trăm có 9 cách chọn.}}$
$\color{blue}{\text{Chữ số hàng chục có 8 cách chọn.}}$
$\color{blue}{\text{Chữ số hàng đơn vị có 7 cách chọn.}}$
$\color{blue}{\text{Số lượng số } b \text{ là: } 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \text{ số.}}$
$\color{blue}{\text{**Không gian mẫu:** } n(\Omega) = 648 \times 4536}$

$\color{blue}{\text{2. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố } X}$
$\color{blue}{\text{Biến cố } X\text{: "Chữ số của } a \text{ trùng với chữ số của } b \text{ nhiều nhất là 1".}}$

$\color{blue}{\text{Điều này bao gồm hai trường hợp:}}$

$\color{blue}{\text{Trường hợp 1: Không có chữ số nào của } a \text{ trùng với chữ số của } b\text{.}}$
$\color{blue}{\text{Trường hợp 2: Có đúng 1 chữ số của } a \text{ trùng với chữ số của } b\text{.}}$
$\color{blue}{\text{Tuy nhiên, việc tính trực tiếp từng cặp } (a, b) \text{ rất phức tạp vì các chữ số phụ thuộc vào vị trí (số 0 không đứng đầu). Một cách tiếp cận phổ biến cho bài toán này là xét tập hợp các chữ số của } a \text{ (gọi là } A\text{) và tập hợp các chữ số của } b \text{ (gọi là } B\text{).}}$

$\color{blue}{\text{Tập } A \subset \{0, 1, \dots, 9\}, |A| = 3.}$
$\color{blue}{\text{Tập } B \subset \{0, 1, \dots, 9\}, |B| = 4.}$
$\color{blue}{\text{Yêu cầu bài toán tương đương với: } |A \cap B| \le 1.}$

$\color{blue}{\text{3. Tính xác suất theo tập hợp chữ số}}$
$\color{blue}{\text{Giả sử chọn ngẫu nhiên tập } A \text{ có 3 phần tử và tập } B \text{ có 4 phần tử từ bộ 10 chữ số.}}$

$\color{blue}{\text{Số cách chọn tập } A \text{ là: } C_{10}^3}$
$\color{blue}{\text{Số cách chọn tập } B \text{ là: } C_{10}^4}$
$\color{blue}{\text{Số cách chọn sao cho } |A \cap B| \le 1\text{:}}$

$\color{blue}{\text{TH1: } |A \cap B| = 0 \text{ (không trùng): Chọn 3 số cho } A \text{ từ 10 số, sau đó chọn 4 số cho } B \text{ từ 7 số còn lại: } C_{10}^3 \times C_7^4}$
$\color{blue}{\text{TH2: } |A \cap B| = 1 \text{ (trùng 1): Chọn 1 số chung từ 10 số. Chọn 2 số còn lại cho } A \text{ từ 9 số. Chọn 3 số còn lại cho } B \text{ từ 7 số: } C_{10}^1 \times C_9^2 \times C_7^3}$
$\color{blue}{\text{Xác suất về mặt tập hợp là:}}$

$P = \frac{C_{10}^3 \cdot C_7^4 + C_{10}^1 \cdot C_9^2 \cdot C_7^3}{C_{10}^3 \cdot C_{10}^4} = \frac{120 \cdot 35 + 10 \cdot 36 \cdot 35}{120 \cdot 210} = \frac{4200 + 12600}{25200} = \frac{16800}{25200} = \frac{2}{3}$
$\color{blue}{\text{*(Lưu ý: Kết quả này xấp xỉ đúng vì tỉ lệ giữa các số có chữ số 0 và không có chữ số 0 trong các số có nhiều chữ số khác nhau là tương đương nhau).*}}$

$\color{blue}{\text{Đáp số xấp xỉ: } \frac{2}{3}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$