Gọi:
N = 40: Tổng số thí sinh.
A, B, C lần lượt là tập hợp các thí sinh giải được bài 1, bài 2, bài 3.
Theo đề bài: |A| = 25, |B| = 20, |C| = 22.
Gọi x₁₂₃ là số thí sinh giải được cả 3 bài. Theo đề bài: x₁₂₃ $\ge$ 5.
Gọi S = |A $\cup$ B $\cup$ C| là số thí sinh giải được ít nhất một bài.
Số thí sinh không giải được bài nào là: |X| = 40 - S.
=> Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của |X|, ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể của S.
- Để |X| lớn nhất thì S phải nhỏ nhất.
+ S nhỏ nhất khi các tập hợp A, B, C chồng lấn lên nhau nhiều nhất có thể.
+ Ta có |A| = 25 là tập lớn nhất.
- Vì |B| = 20 < 25 và |C| = 22 < 25, nên tập B và C hoàn toàn có thể nằm trọn trong tập A.
Khi đó, S = |A $\cup$ B $\cup$ C| = |A| = 25.
Tuy nhiên, ta phải kiểm tra điều kiện x₁₂₃ $\ge$ 5. Nếu B và C đều nằm trong A, và chúng giao nhau ít nhất 5 phần tử (điều này hoàn toàn khả thi vì 20 + 22 - 25 = 17 > 5), thì S_min = 25.
Vậy: |X|_max = 40 - 25 = 15

- Để |X| nhỏ nhất thì S phải lớn nhất.
=> Theo nguyên lý bao hàm - loại trừ cho 3 tập hợp:
S = (|A| + |B| + |C|) - (|A $\cap$ B| + |B $\cap$ C| + |C $\cap$ A|) + |A $\cap$ B $\cap$ C|
=> Thay số: S = (25 + 20 + 22) - (tổng các giao điểm 2 tập) + x123
=> S = 67 - (tổng các giao điểm 2 tập) + x123
- Để S lớn nhất, ta cần "trải" các thí sinh ra sao cho ít bị trùng lặp nhất. Tuy nhiên, mỗi thí sinh trong S giải được ít nhất 1 bài, tối đa 3 bài.
- Gọi k là số bài giải được trung bình của các thí sinh trong S. Tổng số lượt giải bài là 25 + 20 + 22 = 67.
- Ta có: 67 = 1n₁ + 2n2 + 3n₃ (với n_i là số người giải được đúng i bài).
Và S = n₁ + n₂ + n₃.
- Để S cực đại, ta cần n₁ lớn nhất và n₃ nhỏ nhất.
- Đề bài cho n₃ $\ge$ 5. Thay n₃ = 5: 67 = n₁ + 2n₂ + 3(5) => n₁ + 2n₂ = 52.
- Để S = n₁ + n₂ + 5 lớn nhất, ta chọn n₂ nhỏ nhất có thể.
+ Nếu n₂ = 0 => n₁ = 52. Khi đó S = 52 + 0 + 5 = 57.
+ Nhưng tổng số thí sinh chỉ có 40, nên S không thể vượt quá 40.
+ Điều này có nghĩa là với dữ kiện đã cho, các tập hợp A, B, C luôn bao phủ hết số thí sinh nếu chúng ta muốn "trải rộng" chúng ra. Nói cách khác, ta luôn có thể sắp xếp để S = 40 (tất cả mọi người đều giải được ít nhất 1 bài).
- Kiểm tra tính khả thi của S = 40:
- Tổng số lượt giải là 67. Nếu 40 người đều giải được bài: Lượt dư ra là 67 - 40 = 27. 27 lượt dư này dùng để nâng cấp những người giải 1 bài thành 2 bài hoặc 3 bài.
- Gọi x, y, z là số người giải đúng 1, 2, 3 bài: $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=40\\ x + 2y + 3z = 67\\ z \ge 5\end{array}\right.$
- Với z = 5 => y = 17. Khi đó x = 40 - 17 - 5 = 18.
- Các số x, y, z đều dương và thỏa mãn điều kiện. Vậy S có thể bằng 40.
=> Do đó: |X|_min = 40 - 40 = 0

$\color{blue}{\text{1. Thiết lập các ký hiệu}}$
$\color{blue}{\text{Gọi:}}$

$\color{blue}{A, B, C \text{ lần lượt là tập hợp các thí sinh giải được bài 1, bài 2, bài 3.}}$
$\color{blue}{\text{Theo đề bài: } |A|=25, |B|=20, |C|=22.}$
$\color{blue}{\text{Số thí sinh giải được ít nhất một bài là: } |A \cup B \cup C|.}$
$\color{blue}{\text{Số thí sinh không giải được bài nào là: } |X| = 40 - |A \cup B \cup C|.}$
$\color{blue}{\text{Số thí sinh giải được cả 3 bài: } |A \cap B \cap C| = k \ge 5.}$
$\color{blue}{\text{Công thức nguyên lý bù trừ cho 3 tập hợp:}}$

$\color{blue}{|A \cup B \cup C| = (|A|+|B|+|C|) - (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + |A \cap B \cap C|}$
$\color{blue}{|A \cup B \cup C| = (25+20+22) - (\text{tổng các phần giao của 2 tập}) + k}$
$\color{blue}{|A \cup B \cup C| = 67 - S_2 + k \quad (\text{với } S_2 = |A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|)}$

$\color{blue}{\text{2. Tìm số lượng phần tử nhỏ nhất (Min |X|)}}$
$\color{blue}{\text{Để } |X| \text{ nhỏ nhất thì số thí sinh giải được ít nhất một bài } |A \cup B \cup C| \text{ phải lớn nhất.}}$

$\color{blue}{\text{Giá trị lớn nhất của } |A \cup B \cup C| \text{ không thể vượt quá tổng số thí sinh là 40.}}$

$\color{blue}{\text{Ta kiểm tra xem có trường hợp nào } |A \cup B \cup C| = 40 \text{ không?}}$

$\color{blue}{\text{Với } k=5 \text{, ta cần } S_2 = 67 - 40 + 5 = 32 \text{. Điều này hoàn toàn có thể xảy ra với các giá trị giao nhau phù hợp.}}$

$\color{blue}{\text{Vậy, giá trị nhỏ nhất của } |X| \text{ là:}}$

$\color{blue}{\min |X| = 40 - 40 = 0}$

$\color{blue}{\text{3. Tìm số lượng phần tử lớn nhất (Max |X|)}}$
$\color{blue}{\text{Để } |X| \text{ lớn nhất thì } |A \cup B \cup C| \text{ phải nhỏ nhất.}}$

$\color{blue}{\text{Ta có điều kiện: } |A \cup B \cup C| \ge \max(|A|, |B|, |C|) = 25.}$

$\color{blue}{\text{Tuy nhiên, ta phải thỏa mãn điều kiện có } k \ge 5 \text{ thí sinh giải được cả 3 bài.}}$

$\color{blue}{\text{Để } |A \cup B \cup C| \text{ nhỏ nhất, các tập hợp phải "chồng khít" lên nhau nhiều nhất có thể.}}$

$\color{blue}{\text{Giả sử } B \subset A \text{ và } C \subset A \text{ (vì } |A| \text{ lớn nhất). Khi đó } |A \cup B \cup C| = |A| = 25.}$

$\color{blue}{\text{Lúc này, phần giao của 3 bài là } |A \cap B \cap C| = |B \cap C| \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Vì } |B|=20 \text{ và } |C|=22 \text{ trong tập } A \text{ có 25 phần tử, phần giao nhỏ nhất của B và C là:}}$

$\color{blue}{20 + 22 - 25 = 17}$
 

$\color{blue}{\text{Vì } 17 \ge 5 \text{ (thỏa mãn điều kiện đề bài), nên giá trị } 25 \text{ là hoàn toàn khả thi.}}$

$\color{blue}{\text{Vậy, giá trị lớn nhất của } |X| \text{ là:}}$

$\color{blue}{\max |X| = 40 - 25 = 15}$

$\color{blue}{\text{Kết luận:}}$

$\color{blue}{\text{Số lượng phần tử nhỏ nhất của X là: **0**}}$
$\color{blue}{\text{Số lượng phần tử lớn nhất của X là: **15**}}$

$\mathbf{\color{red}{\#}\color{orange}{u}\color{yellow}{y}\color{green}{n}\color{blue}{n}\color{indigo}{c}\color{purple}{u}\color{pink}{t}\color{red}{e}\color{orange}{c}\color{yellow}{o}\color{green}{r}\color{blue}{e}}$