a) Chứng minh góc PTB = góc ABP và AP · AT = R bình
- Vì BT là tiếp tuyến tại B nên
góc PTB (góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây BP) bằng góc nội tiếp chắn cùng cung BP, tức là
góc PTB = góc ABP.
- Xét điểm T nằm ngoài đường tròn, TA là cát tuyến, TB là tiếp tuyến nên theo hệ thức tiếp tuyến – cát tuyến:

AT · AP = BT bình.
- Mà BT = R (bán kính vuông góc với tiếp tuyến), nên
AP · AT = R bình.

b) Chứng minh góc AOP = 2 góc ATB
- Góc ATB là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và cát tuyến TA, nên bằng góc nội tiếp chắn cung AP.
- Góc AOP là góc ở tâm chắn cùng cung AP.
- Mà góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Suy ra:
góc AOP = 2 góc ATB.

c) Chứng minh góc APO = góc PBT
- OB vuông góc BT (bán kính vuông góc tiếp tuyến).
- Xét tam giác OAP cân tại O (OA = OP) nên các góc ở đáy bằng nhau.
- Góc PBT là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây BP, bằng góc nội tiếp chắn cung BP.
- Góc APO cũng là góc nội tiếp chắn cùng cung đó.
Suy ra:
góc APO = góc PBT.

a) Chứng minh góc PTB = góc ABP và AP · AT = R bình
- Vì BT là tiếp tuyến tại B nên
góc PTB (góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây BP) bằng góc nội tiếp chắn cùng cung BP, tức là
góc PTB = góc ABP.
- Xét điểm T nằm ngoài đường tròn, TA là cát tuyến, TB là tiếp tuyến nên theo hệ thức tiếp tuyến – cát tuyến:

AT · AP = BT bình.
- Mà BT = R (bán kính vuông góc với tiếp tuyến), nên
AP · AT = R bình.

b) Chứng minh góc AOP = 2 góc ATB
- Góc ATB là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và cát tuyến TA, nên bằng góc nội tiếp chắn cung AP.
- Góc AOP là góc ở tâm chắn cùng cung AP.
- Mà góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Suy ra:
góc AOP = 2 góc ATB.

c) Chứng minh góc APO = góc PBT
- OB vuông góc BT (bán kính vuông góc tiếp tuyến).
- Xét tam giác OAP cân tại O (OA = OP) nên các góc ở đáy bằng nhau.
- Góc PBT là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và dây BP, bằng góc nội tiếp chắn cung BP.
- Góc APO cũng là góc nội tiếp chắn cùng cung đó.
Suy ra:
góc APO = góc PBT.