a) So sánh $S_{MBC}$ và $S_{NBC}$
Để so sánh diện tích hai tam giác này, chúng ta xét các yếu tố sau:

Cạnh đáy: Cả hai tam giác $MBC$ và $NBC$ đều có chung cạnh đáy là $BC$.
Chiều cao: * Chiều cao hạ từ $M$ xuống $BC$ chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $MN$ và $BC$.

Chiều cao hạ từ $N$ xuống $BC$ cũng chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $MN$ và $BC$.
Vì $MN \parallel BC$, nên hai khoảng cách này bằng nhau.
Kết luận: Vì hai tam giác có chung đáy và chiều cao bằng nhau nên diện tích của chúng bằng nhau.

$S_{MBC} = S_{NBC}$

b) So sánh $BD$ và $MC$
Để so sánh $BD$ và $MC$, chúng ta xét tứ giác $BMCD$:

Theo giả thiết: Ta có $BD \parallel MC$.
Xét cạnh $AC$ và $CD$: Giả thiết cho $AC = CD$.

Mà $N$ là trung điểm của $AC$, nên $CN = \frac{1}{2} AC$.
Từ đó suy ra $CN = \frac{1}{2} CD$. Điều này có nghĩa là $C$ là trung điểm của $ND$ (không hẳn, thực tế là $C$ nằm giữa $N$ và $D$ và $CD = AC = 2CN$).
Tuy nhiên, cách đơn giản nhất để nhìn nhận bài toán này là xét tam giác $ABD$:

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$.
Đường thẳng qua $M$ song song với $BD$ (chính là đường thẳng $MC$ theo giả thiết $MC \parallel BD$) sẽ cắt cạnh $AD$ tại trung điểm của $AD$.
Vì $MC \parallel BD$ và $M$ là trung điểm $AB$, nên theo định lý đường trung bình trong tam giác $ABD$, đoạn thẳng nối từ $M$ song song với đáy $BD$ sẽ có độ dài bằng một nửa đáy đó.
Kết luận:

$MC = \frac{1}{2} BD \quad \text{hay} \quad BD = 2 \times MC$

Giải thích thêm: Trong tam giác $ABD$, vì $M$ là trung điểm $AB$ và $MC \parallel BD$, nên $MC$ đóng vai trò là đường trung bình của tam giác $ABD$ (ứng với đáy $BD$). Do đó, $BD$ luôn gấp đôi $MC$.