Đề bài có 2 phần, ta sẽ phân tích và giải từng phần:

---

### Phần 1: Tìm số nguyên \( n \) sao cho \((n+4) \mid (n+2)b\)

- Ở đây, đề bài viết chưa rõ: \( b \) là số gì? Có phải là một số đã cho hay chưa? Hay \( b \) là biến?
- Nếu \( b \) là một số cho trước thì ta có thể xét điều kiện chia hết.
- Nếu không có thêm thông tin về \( b \), ta không thể xác định \( n \).

**Kết luận:** Phần này thiếu thông tin về \( b \), không thể giải.

---

### Phần 2: Cho \( S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{20} \). Tìm số tự nhiên \( n \) thỏa mãn:
\[
4 \cdot S + 1 = 5^n - 1
\]

---

#### Bước 1: Tính tổng \( S \)

- \( S = 1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{20} \) là tổng cấp số nhân với:
- Số hạng đầu \( a = 1 \)
- Công bội \( q = 5 \)
- Số số hạng: 21 (từ mũ 0 đến mũ 20)

Công thức tổng cấp số nhân:
\[
S = \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = \frac{5^{21} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{21} - 1}{4}
\]

---

#### Bước 2: Thay vào biểu thức \( 4S + 1 \)

\[
4S + 1 = 4 \cdot \frac{5^{21} - 1}{4} + 1 = (5^{21} - 1) + 1 = 5^{21}
\]

---

#### Bước 3: So sánh với \( 5^n - 1 \)

Theo đề bài:
\[
4S + 1 = 5^n - 1
\]

Thay \( 4S + 1 = 5^{21} \) vào:
\[
5^{21} = 5^n - 1
\]

Suy ra:
\[
5^n = 5^{21} + 1
\]

---

#### Bước 4: Xét phương trình \( 5^n = 5^{21} + 1 \)

- \( 5^{21} + 1 \) không phải là một lũy thừa của 5 vì \( 5^{21} \) là lũy thừa, cộng thêm 1 sẽ không còn là lũy thừa.
- Do đó, không tồn tại số tự nhiên \( n \) thỏa mãn \( 5^n = 5^{21} + 1 \).

---

### Kết luận:

- Phần 1: Thiếu thông tin về \( b \), không thể giải.
- Phần 2: Không tồn tại số tự nhiên \( n \) thỏa mãn \( 4S + 1 = 5^n - 1 \) với \( S = 1 + 5 + \ldots + 5^{20} \).

---

Nếu bạn muốn, bạn có thể kiểm tra lại đề bài hoặc cung cấp thêm thông tin để mình giúp bạn chính xác hơn!