a) Tìm số nguyên $n$ sao cho $(n+4) \vdots (n+2)$
Để $(n+4)$ chia hết cho $(n+2)$, ta thực hiện tách tử số như sau:

$(n+4) = (n+2) + 2$
Để $(n+2) + 2 \vdots (n+2)$, mà ta đã có $(n+2) \vdots (n+2)$, nên bắt buộc số hạng còn lại phải chia hết cho $(n+2)$:

$\Rightarrow 2 \vdots (n+2)$
Điều này có nghĩa là $(n+2)$ phải là ước của 2.

Các ước của 2 bao gồm: $\{-2; -1; 1; 2\}$.

Ta lập bảng giá trị để tìm $n$:

n+2
-2
-1
1
2
$n$
-4
-3
-1
0
Vậy $n \in \{-4; -3; -1; 0\}$.

b) Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $4S + 1 = 5^n$
Lưu ý: Trong đề bài em ghi là $5^{11}$ hoặc $5^n$, tôi sẽ giải theo hướng tổng quát để tìm $n$ nhé.

Bước 1: Tính tổng $S$

Ta có: $S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{20}$

Nhân cả hai vế với 5:

$5S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^{21}$
Lấy $5S$ trừ đi $S$:

$5S - S = (5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{21}) - (1 + 5 + 5^2 + ... + 5^{20})$
$4S = 5^{21} - 1$
Bước 2: Thay vào biểu thức tìm $n$

Theo đề bài: $4S + 1 = 5^n$ (Tôi giả sử vế phải là $5^n$ để tìm $n$ vì $5^{11}$ có thể là nhầm lẫn số mũ).

Thay $4S = 5^{21} - 1$ vào:

$(5^{21} - 1) + 1 = 5^n$
$5^{21} = 5^n$
$\Rightarrow n = 21$
Nếu đề bài của em chính xác là $4S + 1 = 5^{11}$ thì phương trình trở thành $5^{21} = 5^{11}$ (Vô lý). Vì vậy, khả năng cao số mũ trong tổng $S$ của em chỉ đến $5^{10}$ hoặc số cần tìm chính là $n = 21$.

Kết luận: $n = 21$.