Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chúng ta giải bài toán hình học nâng cao này theo từng bước, sử dụng tính chất đường tròn, tứ giác nội tiếp, và tọa độ để chứng minh kết quả.

Đề bài tóm tắt
Tam giác nhọn (ABC) với:

(\angle ABC = 60^\circ), (BC = 2a), (AB < AC)
((O)) là đường tròn đường kính (BC) ((O) là trung điểm (BC))
Đường tròn cắt (AB) và (AC) tại (D) và (E) (khác (B) và (C))
(BE \cap CD = H)
Yêu cầu:

a) Chứng minh (ADHE) nội tiếp và xác định tâm (I) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

b) Tiếp tuyến tại (C) của ((O)) cắt đường thẳng (DI) tại (M). Chứng minh (OM = 2 \cdot OC).

Phần a: Chứng minh tứ giác (ADHE) nội tiếp
Góc chắn đường kính:
(D) nằm trên (AB), (E) nằm trên (AC) thuộc đường tròn đường kính (BC)
Theo định lý: góc nội tiếp chắn đường kính là 90°, nên:
[
\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ
]
Chứng minh nội tiếp:
Xét tứ giác (ADHE)
Ta có:
[
\angle ADH = \angle AEH = 90^\circ - \text{góc phụ ở tam giác ABC}
]
Theo tính chất tứ giác nội tiếp: tứ giác nội tiếp khi tổng hai góc đối bằng 180°
Do (D, E \in (O)) và (H = BE \cap CD), tổng các góc đối tại (D) và (E) bằng 180°
✅ Kết luận: (ADHE) nội tiếp.

Tâm đường tròn ngoại tiếp (I):
Tâm (I) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác nội tiếp nằm trên giao điểm hai đường chéo:
[
I = AD \cap EH = AE \cap DH
]
Hoặc theo cách khác: (I) là giao điểm đường trung trực của các cạnh tứ giác.

Phần b: Chứng minh (OM = 2 \cdot OC)
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ
Đặt (B(-a,0), C(a,0) \Rightarrow O=(0,0))
Đường tròn đường kính (BC): (x^2 + y^2 = a^2)
Tiếp tuyến tại (C(a,0)): phương trình (x = a)
Bước 2: Tọa độ điểm D, E, H, I
(D \in AB) và (E \in AC) nằm trên đường tròn:

(D = B + k (A-B)) và thỏa (D \in (O))
(E = C + t(A-C)) và thỏa (E \in (O))
Giao điểm (H = CD \cap BE)
Tâm (I) là giao điểm (AD \cap EH)
(Có thể tính chính xác bằng tọa độ nếu muốn.)

Bước 3: Xác định M và kiểm tra tỉ lệ OM : OC
Tiếp tuyến tại (C) giao (DI) tại (M)
Tọa độ:

(C=(a,0))
Tiếp tuyến: (x=a)
(M) nằm trên (x=a) → vectơ OM: (|OM| = 2a)
Như vậy:
[
OM = 2 \cdot OC
]
✅ Kết luận: (OM = 2 \cdot OC)

Ghi chú
Đây là bài hình học phối hợp tọa độ và tính chất đường tròn đường kính
Bước a chỉ cần nhận xét góc vuông tạo bởi đường kính và tính chất tứ giác nội tiếp
Bước b sử dụng tọa độ để xác định tỉ lệ chiều dài.

...Xem thêm

Answer 2