1. Phân tích các tỷ số độ dài
Theo đề bài, ta có các dữ kiện sau:

$M$ nằm trên $BC$ sao cho $BM = \frac{1}{3} BC$. Suy ra $MC = \frac{2}{3} BC$.
$K$ nằm trên $AM$ sao cho $AK = \frac{1}{4} AM$. Suy ra $KM = \frac{3}{4} AM$.
2. Thiết lập tỷ số diện tích
Để tính tỷ số diện tích giữa $\triangle MKC$ và $\triangle BKC$, ta có thể xét hai tam giác này trong mối quan hệ với tam giác tổng thể hoặc sử dụng chung cạnh đáy $KC$. Tuy nhiên, cách dễ nhất là so sánh chúng thông qua các tam giác có chung đỉnh.

Bước 1: So sánh diện tích $\triangle MKC$ và $\triangle AMC$

Xét $\triangle MKC$ và $\triangle AMC$ có chung chiều cao hạ từ $C$ xuống đoạn thẳng $AM$.
Cạnh đáy tương ứng là $KM$ và $AM$.
Vì $KM = \frac{3}{4} AM$ nên:

$S_{MKC} = \frac{3}{4} S_{AMC}$
Bước 2: So sánh diện tích $\triangle MKB$ và $\triangle AMB$

Tương tự, xét $\triangle MKB$ và $\triangle AMB$ có chung chiều cao hạ từ $B$ xuống đoạn thẳng $AM$.
Cạnh đáy tương ứng là $KM$ và $AM$.
Vì $KM = \frac{3}{4} AM$ nên:

$S_{MKB} = \frac{3}{4} S_{AMB}$
Bước 3: Tính diện tích $\triangle BKC$

Diện tích $\triangle BKC$ chính bằng tổng diện tích hai tam giác nhỏ:

$S_{BKC} = S_{MKC} + S_{MKB}$
 

Thay các biểu thức ở trên vào:

$S_{BKC} = \frac{3}{4} S_{AMC} + \frac{3}{4} S_{AMB} = \frac{3}{4} (S_{AMC} + S_{AMB}) = \frac{3}{4} S_{ABC}$
Bước 4: Tính diện tích $\triangle MKC$ theo $\triangle ABC$

Xét $\triangle AMC$ và $\triangle ABC$ có chung chiều cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$.
Cạnh đáy $MC = \frac{2}{3} BC$.
Suy ra $S_{AMC} = \frac{2}{3} S_{ABC}$.
Từ Bước 1, ta có: $S_{MKC} = \frac{3}{4} S_{AMC} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.
3. Kết luận tỷ số
Tỷ số diện tích của $\triangle MKC$ và $\triangle BKC$ là:

$\frac{S_{MKC}}{S_{BKC}} = \frac{\frac{1}{2} S_{ABC}}{\frac{3}{4} S_{ABC}} = \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Kết quả: Tỷ số diện tích của tam giác $MKC$ và tam giác $BKC$ là $2/3$.