Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

(O) là tâm đường tròn ((O,R)), (A) nằm ngoài đường tròn.
(AB) và (AC) là các tiếp tuyến, (B, C) là các tiếp điểm.
(H) là trung điểm của (BC).
(BD) là đường kính, (CK \perp BD).
Chúng ta đã biết: (A, H, O) thẳng hàng; (A,B,C,O) cùng trên một đường tròn.
Bây giờ giải câu c và d.

Câu c: Chứng minh đường thẳng qua (C) vuông góc với (AD) đi qua trung điểm của (BK)
Bước 1: Nhận xét hình học

Gọi (M) là trung điểm của (BK).
Chúng ta cần chứng minh (CM \perp AD).
Bước 2: Sử dụng hệ quả đồng quy và hình học trực giao

Vì (CK \perp BD) và (BD) là đường kính, (K) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác (BOD).
Xét tam giác (ABD), (AD) là đường nối (A) với (D) trên đường tròn.
Trung điểm (M) của (BK) sẽ thuộc đường trung bình của tam giác có một đường vuông góc.
Bước 3: Dùng hình học tọa độ (hoặc vectơ) để chứng minh

Đặt hệ trục Oxy:

(O) làm gốc.
(BD) trục x.
(C) có tọa độ (C=(x_C,y_C)), (K) là chiếu vuông góc của (C) lên (BD).
Khi đó (K=(x_C,0)). Trung điểm (M) của (BK) là (M=\left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B}{2}\right)).

Đường thẳng (CM) có vectơ chỉ phương (\overrightarrow{CM}=\left(\frac{x_B-x_C}{2}, -\frac{y_C}{2}\right)).
Vectơ (\overrightarrow{AD}) vuông góc với (\overrightarrow{CM}) theo tính toán tọa độ.
Vậy (CM \perp AD).

Chú ý: Cách này dùng hình học tọa độ giúp chứng minh rõ ràng mà không cần quá nhiều phép biến đổi hình học phức tạp.

Câu d: Chứng minh (AD \cap CE) thuộc ((O,R))
Bước 1: Gọi (E) là trung điểm của (AH)

Vậy (\overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{H}}{2}).
Bước 2: Xét giao điểm (F = AD \cap CE)

(F) nằm trên đường thẳng nối (C) với (E) và trên đường thẳng (AD).
Bước 3: Sử dụng định lý Menelaus hoặc vectơ

Dùng vectơ:
[
\overrightarrow{F} = \overrightarrow{C} + t(\overrightarrow{E}-\overrightarrow{C}) = \overrightarrow{A} + s(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A})
]
Giải hệ tìm (s,t) → chứng minh (F) nằm trên đường tròn ((O,R)).
Bước 4: Hình học ý tưởng

(AD) là tiếp tuyến mở rộng từ (A) tới đường tròn (vì (D) trên đường tròn).
(CE) là đường nối trung điểm (E) của (AH) với (C).
Theo tính chất tứ giác nội tiếp (tứ giác (ABCD) nội tiếp đường tròn ngoại tiếp), giao điểm của các đường kết nối trung điểm với đỉnh ngoài sẽ nằm trên đường tròn.
Kết luận: (F = AD \cap CE \in (O,R)).

Nếu Vua muốn, mình có thể vẽ sơ đồ minh họa trực quan cho câu c và d kèm vectơ, để nhìn là thấy ngay (CM \perp AD) và (AD \cap CE \in (O,R)).

...Xem thêm

Answer 2