Đây là một bài toán về căn bậc hai lồng nhau (căn chồng căn).

Ta có biểu thức:

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}}$
Để đơn giản hóa biểu thức này, ta áp dụng quy tắc:

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
Trong trường hợp này, tất cả các căn bậc hai đều là căn bậc hai (căn bậc 2), tức là bậc căn $n=m=...=2$.

Khi có $k$ lần căn bậc hai lồng nhau của một số $a$, ta có:

$\underbrace{\sqrt{\sqrt{\dots\sqrt{a}}}}_{k \text{ lần}} = \sqrt[2^k]{a}$
Trong biểu thức của bạn, ta có 5 lần căn bậc hai lồng nhau của số 5 ($k=5$).

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}} = \sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2]{5} = \sqrt[2^5]{5}$
Ta tính $2^5$:

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$
Vậy, biểu thức được rút gọn thành:

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}} = \mathbf{\sqrt[32]{5}}$
Hoặc viết dưới dạng lũy thừa với số mũ là phân số:

$\sqrt[32]{5} = \mathbf{5^{\frac{1}{32}}}$