Chào bạn, tôi sẽ lần lượt giải quyết các yêu cầu của bạn.

1. Số nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
 

Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có ba trường hợp về số nghiệm:

Một nghiệm duy nhất: Khi hai đường thẳng (biểu diễn hai phương trình) cắt nhau.
Vô số nghiệm: Khi hai đường thẳng trùng nhau.
Vô nghiệm: Khi hai đường thẳng song song và khác nhau.

 

2. Bài toán thực tế
 

2.1. Tính số kilogam thịt lợn và cá chép
 

Gọi $x$ là số kilogam thịt lợn (kg), và $y$ là số kilogam cá chép (kg). ($x > 0, y > 0$).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

Tổng khối lượng: Bác Ngọc mua 3,5 kg hai loại thực phẩm.

$x + y = 3.5 \quad (1)$
Tổng số tiền: Bác Ngọc chi 295 nghìn đồng.

$130x + 50y = 295 \quad (2)$
Từ (1), ta có $y = 3.5 - x$. Thay vào (2):

$130x + 50(3.5 - x) = 295$
$130x + 175 - 50x = 295$
$80x = 295 - 175$
$80x = 120$
$x = \frac{120}{80} = 1.5 \text{ (kg)}$
Thay $x = 1.5$ vào (1):

$1.5 + y = 3.5$
$y = 3.5 - 1.5 = 2 \text{ (kg)}$
Kết luận: Bác Ngọc đã mua 1.5 kg thịt lợn và 2 kg cá chép.

2.2. Thời gian hoàn thành công việc một mình
 

Gọi $x$ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong bức tường (giờ, $x > 0$), và $y$ là thời gian người thứ hai làm một mình xong bức tường (giờ, $y > 0$).

Năng suất người thứ nhất: $\frac{1}{x}$ (công việc/giờ).
Năng suất người thứ hai: $\frac{1}{y}$ (công việc/giờ).
Đổi đơn vị thời gian: $3$ giờ $45$ phút $= 3 + \frac{45}{60} = 3 + 0.75 = 3.75$ giờ.

Lập hệ phương trình:

Làm chung cả bức tường: Hai người cùng làm trong $3.75$ giờ thì xong.

$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \times 3.75 = 1 \quad (3)$
$130x + 50y = 295 \quad (2)$0
Quá trình làm việc chia đôi:

Làm chung $3$ giờ: $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \times 3$
Người thứ hai làm $2$ giờ còn lại: $\frac{1}{y} \times 2$
Tổng công việc bằng 1:

$130x + 50y = 295 \quad (2)$1
Giải hệ phương trình:

Thay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{15}$ từ $(3')$ vào $(4)$:

$130x + 50y = 295 \quad (2)$2
$130x + 50y = 295 \quad (2)$3
$130x + 50y = 295 \quad (2)$4
$130x + 50y = 295 \quad (2)$5
$130x + 50y = 295 \quad (2)$6
Thay $y = 10$ vào $(3')$:

$130x + 50y = 295 \quad (2)$7
$130x + 50y = 295 \quad (2)$8
 

Tìm mẫu chung là 30:

$130x + 50y = 295 \quad (2)$9
$130x + 50(3.5 - x) = 295$0
Kết luận: Nếu làm một mình, người thứ nhất xây xong bức tường trong 6 giờ, và người thứ hai xây xong bức tường trong 10 giờ.

3. Giải phương trình và bất phương trình
 

3.a. Giải phương trình $(2-3x)(4x+5)=0$
 

Đây là phương trình tích. Phương trình bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0.

$130x + 50(3.5 - x) = 295$1
Tập nghiệm: $S = \left\{\frac{2}{3}; -\frac{5}{4}\right\}$.

3.b. Giải bất phương trình $5x+6 > x+26$
 

Chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế và các hằng số về vế kia:

$130x + 50(3.5 - x) = 295$2
$130x + 50(3.5 - x) = 295$3
$130x + 50(3.5 - x) = 295$4
$130x + 50(3.5 - x) = 295$5
Tập nghiệm: $x > 5$.

4. Viết bất đẳng thức
 

Tình huống
Mô tả (Bất đẳng thức)
Giải thích
a. Bạn An ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử.
Tuổi $\ge 18$
"Ít nhất 18 tuổi" nghĩa là lớn hơn hoặc bằng 18.
b. Một thang máy chở được tối đa 700 kg.
Khối lượng $\le 700$ (kg)
"Tối đa 700 kg" nghĩa là nhỏ hơn hoặc bằng 700 kg.
c. Bạn phải mua hàng có tổng trị giá ít nhất 1 triệu đồng mới được giảm giá.
Trị giá $\ge 1.000.000$ (VNĐ)
"Ít nhất 1 triệu đồng" nghĩa là lớn hơn hoặc bằng 1.000.000.
d. Bạn ném vào rổ ít nhất 5 quả bóng mới vào được đội tuyển.
Số quả $\ge 5$ (quả)
"Ít nhất 5 quả" nghĩa là lớn hơn hoặc bằng 5.

 

5. Giải thích và Tính toán
 

5.a. Giải thích $\sin 35^\circ = \cos 55^\circ$ và $\tan 35^\circ = \cot 55^\circ$
 

Đây là ứng dụng của tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

Hai góc $35^\circ$ và $55^\circ$ là hai góc phụ nhau vì tổng của chúng bằng $90^\circ$ ($35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$).

Trong một tam giác vuông, nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai góc nhọn thì $\alpha + \beta = 90^\circ$. Ta có quy tắc:

$\sin \alpha = \cos \beta$
$\tan \alpha = \cot \beta$
Áp dụng cho $\alpha = 35^\circ$ và $\beta = 55^\circ$:

$\sin 35^\circ = \cos (90^\circ - 35^\circ) = \cos 55^\circ$.
$\tan 35^\circ = \cot (90^\circ - 35^\circ) = \cot 55^\circ$.
 

5.b. Giải thích vì sao $AB \approx 16.18$ cm
 

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$:

Cạnh huyền $BC = 20$ cm.
Góc $\angle B = 36^\circ$.
Cần tính cạnh góc vuông $AB$.
Trong tam giác vuông $ABC$:

$AB$ là cạnh kề với góc $B$.
$BC$ là cạnh huyền.
Ta sử dụng tỉ số lượng giác cosin (kề/huyền):

$130x + 50(3.5 - x) = 295$6
$130x + 50(3.5 - x) = 295$7
$130x + 50(3.5 - x) = 295$8
Sử dụng máy tính để tính giá trị $\cos 36^\circ$:

$130x + 50(3.5 - x) = 295$9
Vậy:

$130x + 175 - 50x = 295$0

 

6. Tính khoảng cách AD
 

(Thiếu hình vẽ minh họa, tôi sẽ giả định đây là bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm A và D trên mặt đất khi biết các đoạn thẳng AB, BC, CD và các góc tạo bởi chúng - thường là $\angle B$ và $\angle C$, hoặc các góc phương vị/phương hướng - để tính theo công thức hình học hoặc tọa độ).

Để giải bài toán này, tôi cần hình vẽ hoặc thông tin cụ thể về các góc giữa các đoạn thẳng $AB, BC, CD$.

Tuy nhiên, nếu giả định rằng: $AB, BC, CD$ là các đoạn thẳng tạo thành một đường gấp khúc, và cần tính khoảng cách $AD$ (đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối), ta cần biết các góc định hướng hoặc góc quay tại $B$ và $C$.

Giả sử đơn giản hóa: Nếu $A, B, C, D$ là các điểm trong mặt phẳng, và cho biết các độ dài $AB, BC, CD$ cùng với các góc tạo bởi các đoạn thẳng kề nhau.

Phương pháp giải chung (sử dụng định lý cosin hoặc phương pháp tọa độ):

Chọn hệ tọa độ: Đặt $A$ tại gốc tọa độ $(0; 0)$.
Xác định tọa độ $B$: Giả sử $AB$ nằm trên trục $Ox$ (hoặc biết góc của $AB$ so với phương ngang).
Xác định tọa độ $C$: Dựa vào tọa độ $B$, độ dài $BC$, và góc quay tại $B$ (hoặc góc $\angle ABC$).
Xác định tọa độ $D$: Dựa vào tọa độ $C$, độ dài $CD$, và góc quay tại $C$ (hoặc góc $\angle BCD$).
Tính khoảng cách $AD$: Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A, y_A)$ và $D(x_D, y_D)$:

$130x + 175 - 50x = 295$1