Tóm tắt đề bài:
Tủ bếp hình chữ U, có các cạnh PCDQ (tức là có ba cạnh: CP, CD, DP).
Chậu rửa M nằm trên cạnh CD (vị trí cố định).
Cần chọn vị trí A trên CP (bếp nấu) và B trên DP (tủ lạnh) sao cho:

Tam giác AMB vuông tại M,
Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.

Phân tích hình học:
Đặt hệ trục tọa độ để dễ tính toán:
Giả sử:

CCC ở gốc tọa độ (0,0)(0, 0)(0,0)
DDD ở (d,0)(d, 0)(d,0)
PPP ở (0,p)(0, p)(0,p)
→ Khi đó tủ bếp có dạng chữ U như hình chữ “Π” ngược.

Chậu rửa MMM nằm trên cạnh CDCDCD, nên M(xM,0)M(x_M, 0)M(xM​,0) với 0<xM<d0 < x_M < d0<xM​<d.
Điểm AAA nằm trên cạnh CPCPCP, nên A(0,yA)A(0, y_A)A(0,yA​).
Điểm BBB nằm trên cạnh DPDPDP, nên B(d,yB)B(d, y_B)B(d,yB​).

1️⃣ Điều kiện tam giác AMBAMBAMB vuông tại MMM:
Để tam giác AMBAMBAMB vuông tại MMM, ta có:

MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0MA⋅MB=0Tính:

MA→=A−M=(−xM,yA)\overrightarrow{MA} = A - M = (-x_M, y_A)MA=A−M=(−xM​,yA​) MB→=B−M=(d−xM,yB)\overrightarrow{MB} = B - M = (d - x_M, y_B)MB=B−M=(d−xM​,yB​)Suy ra:

(−xM)(d−xM)+yAyB=0(-x_M)(d - x_M) + y_A y_B = 0(−xM​)(d−xM​)+yA​yB​=0 ⇒yAyB=xM(d−xM)\Rightarrow y_A y_B = x_M (d - x_M)⇒yA​yB​=xM​(d−xM​)(Điều kiện để tam giác vuông tại M)

2️⃣ Diện tích tam giác AMBAMBAMB:
Công thức diện tích:

S=12∣AM∣⋅∣MB∣⋅sin⁡90∘=12AM⋅MBS = \frac{1}{2} |AM| \cdot |MB| \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{2} AM \cdot MBS=21​∣AM∣⋅∣MB∣⋅sin90∘=21​AM⋅MBTính:

AM=xM2+yA2,MB=(d−xM)2+yB2AM = \sqrt{x_M^2 + y_A^2}, \quad MB = \sqrt{(d - x_M)^2 + y_B^2}AM=xM2​+yA2​​,MB=(d−xM​)2+yB2​​Vậy:

S=12(xM2+yA2)((d−xM)2+yB2)S = \frac{1}{2} \sqrt{(x_M^2 + y_A^2)\big((d - x_M)^2 + y_B^2\big)}S=21​(xM2​+yA2​)((d−xM​)2+yB2​)​
3️⃣ Sử dụng điều kiện vuông góc: yAyB=xM(d−xM)y_A y_B = x_M(d - x_M)yA​yB​=xM​(d−xM​)
Đặt yA=kxM(d−xM)yBy_A = k \frac{x_M(d - x_M)}{y_B}yA​=kyB​xM​(d−xM​)​ (để biểu diễn một ẩn theo cái kia, nhưng ta có thể chọn cách đối xứng).

Để diện tích nhỏ nhất, ta nên chọn tam giác cân tại M (do hình chữ U cân qua đường trung trực của CD ⇒ bếp nấu và tủ lạnh đối xứng nhau).

Nghĩa là:

yA=yBy_A = y_ByA​=yB​Khi đó, từ điều kiện vuông góc:

yA2=xM(d−xM)y_A^2 = x_M (d - x_M)yA2​=xM​(d−xM​) ⇒yA=yB=xM(d−xM)\Rightarrow y_A = y_B = \sqrt{x_M (d - x_M)}⇒yA​=yB​=xM​(d−xM​)​
4️⃣ Tính diện tích khi đó:
S=12AM⋅MB=12xM2+yA2⋅(d−xM)2+yB2S = \frac{1}{2} AM \cdot MB = \frac{1}{2} \sqrt{x_M^2 + y_A^2} \cdot \sqrt{(d - x_M)^2 + y_B^2}S=21​AM⋅MB=21​xM2​+yA2​​⋅(d−xM​)2+yB2​​Thay yA=yB=xM(d−xM)y_A = y_B = \sqrt{x_M(d - x_M)}yA​=yB​=xM​(d−xM​)​:

AM=xM2+xM(d−xM)=xMdAM = \sqrt{x_M^2 + x_M(d - x_M)} = \sqrt{x_M d}AM=xM2​+xM​(d−xM​)​=xM​d​ MB=(d−xM)2+xM(d−xM)=d(d−xM)MB = \sqrt{(d - x_M)^2 + x_M(d - x_M)} = \sqrt{d(d - x_M)}MB=(d−xM​)2+xM​(d−xM​)​=d(d−xM​)​ ⇒S=12xMd⋅d(d−xM)=12dxM(d−xM)\Rightarrow S = \frac{1}{2} \sqrt{x_M d} \cdot \sqrt{d(d - x_M)} = \frac{1}{2} d \sqrt{x_M(d - x_M)}⇒S=21​xM​d​⋅d(d−xM​)​=21​dxM​(d−xM​)​
5️⃣ Tìm giá trị nhỏ nhất của SSS:
Ta thấy SSS tỉ lệ với xM(d−xM)\sqrt{x_M(d - x_M)}xM​(d−xM​)​.

Hàm f(x)=x(d−x)f(x) = x(d - x)f(x)=x(d−x) có giá trị lớn nhất tại x=d2x = \frac{d}{2}x=2d​ (đỉnh parabol).
→ Nghĩa là diện tích lớn nhất khi M ở giữa CD.
Nhưng bài yêu cầu diện tích nhỏ nhất, mà MMM đã cố định, nên để diện tích nhỏ nhất, ta phải chọn vị trí A, B sao cho tam giác vuông cân tại M, vì đó là cấu hình ngắn gọn nhất.

✅ Kết luận:

Điểm A và B nên đặt đối xứng nhau qua đường thẳng vuông góc với CD tại M, sao cho

yA=yB=xM(d−xM)y_A = y_B = \sqrt{x_M(d - x_M)}yA​=yB​=xM​(d−xM​)​→ tức là tam giác AMB vuông cân tại M.
Khi đó, diện tích tam giác nhỏ nhất là:

Smin⁡=12dxM(d−xM)S_{\min} = \frac{1}{2} d \sqrt{x_M(d - x_M)}Smin​=21​dxM​(d−xM​)​

💡 Giải thích thực tế dễ hiểu:

Để quãng đường giữa ba vị trí (bếp – chậu rửa – tủ lạnh) thuận tiện và ngắn nhất,
Tam giác ba vị trí nên là tam giác vuông cân tại chậu rửa — tức là bếp và tủ lạnh đối xứng nhau hai bên của chậu rửa.