### a) $sin 4x - 2cos^2 x + 1 = 0$
Ta có công thức hạ bậc: $2cos^2x = 1 + cos2x$.
Phương trình ban đầu trở thành:
$sin 4x - (1 + cos2x) + 1 = 0$
$sin 4x - cos 2x = 0$
Sử dụng công thức sin 2a = 2sina cosa, ta có $sin 4x = 2sin 2x cos 2x$.
$2sin 2x cos 2x - cos 2x = 0$
$cos 2x (2sin 2x - 1) = 0$
Phương trình này tương đương với hai trường hợp:

* **Trường hợp 1:** $cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ , $k \in \mathbb{Z}$

* **Trường hợp 2:** $2sin 2x - 1 = 0$
$sin 2x = \frac{1}{2}$
$sin 2x = sin \frac{\pi}{6}$
$2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $2x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi$
$2x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $2x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$
$x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

---
### b) $cos(\frac{\pi}{2} - x) + sin 2x = 0$
Ta sử dụng công thức lượng giác của các góc phụ nhau: $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin x$.
Phương trình trở thành:
$sin x + sin 2x = 0$
Sử dụng công thức sin 2a = 2sina cosa, ta có $sin 2x = 2sin x cos x$.
$sin x + 2sin x cos x = 0$
$sin x (1 + 2cos x) = 0$
Phương trình này tương đương với hai trường hợp:

* **Trường hợp 1:** $sin x = 0$
$x = k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

* **Trường hợp 2:** $1 + 2cos x = 0$
$cos x = -\frac{1}{2}$
$cos x = cos \frac{2\pi}{3}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

---
### c) $sin(\frac{4\pi}{9} + x) + cos(\frac{\pi}{18} - x) = \sqrt{3}$
Sử dụng công thức lượng giác: $cos(\frac{\pi}{18} - x) = sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{18} - x)) = sin(\frac{4\pi}{9} + x)$.
Phương trình trở thành:
$sin(\frac{4\pi}{9} + x) + sin(\frac{4\pi}{9} + x) = \sqrt{3}$
$2sin(\frac{4\pi}{9} + x) = \sqrt{3}$
$sin(\frac{4\pi}{9} + x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(\frac{4\pi}{9} + x) = sin \frac{\pi}{3}$
Phương trình này tương đương với hai trường hợp:

* **Trường hợp 1:** $\frac{4\pi}{9} + x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$
$x = \frac{\pi}{3} - \frac{4\pi}{9} + k2\pi$
$x = \frac{3\pi}{9} - \frac{4\pi}{9} + k2\pi$
$x = -\frac{\pi}{9} + k2\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$

* **Trường hợp 2:** $\frac{4\pi}{9} + x = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi$
$\frac{4\pi}{9} + x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$
$x = \frac{2\pi}{3} - \frac{4\pi}{9} + k2\pi$
$x = \frac{6\pi}{9} - \frac{4\pi}{9} + k2\pi$
$x = \frac{2\pi}{9} + k2\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$